Material de Mooney-Rivlin

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En mecánica de sólidos, un material del Mooney–Rivlin[1] [2] es un tipo de material hiperelástico modelizable mediante una función densidad de energía de deformación W\, que es una combinación lineal de dos invariantes algebraicos del tensor tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo \boldsymbol{B}. El modelo de Mooney-Rivlin fue propuesto inicialmente por Melvin Mooney en 1940 y fue reformulado en términos de invariantes algebraicos por Ronald Rivlin en 1948.

La función densidad de energía de dformación para un material de Mooney-Rivlin incompresible viene dada por:[3] [4]

W = C_{1} (\overline{I}_1-3) + C_{2} (\overline{I}_2-3), \,

donde C_{1} y C_{2} son constantes que se determinan empíricamente para cada material concreto y \overline{I}_1 y \overline{I}_2 son el primer invariante (invariante lineal) y segundo invariante (invariante cuadrático) del componente unimodular del tensor de Cauchy-Green:[5]

 \begin{align}
    \bar{I}_1 & = J^{-2/3}~I_1 ~;~~ I_1 = \lambda_1^2 +  \lambda_2 ^2+ \lambda_3 ^2 ~;~~ J = \det(\boldsymbol{F}) \\
    \bar{I}_2 & = J^{-4/3}~I_2 ~;~~ I_2 = \lambda_1^2 \lambda_2^2 +  \lambda_2^2 \lambda_3^2 + \lambda_3^2 \lambda_1^2
   \end{align}

donde \boldsymbol{F} es el gradiente de deformación. Para un material incompresible, J=1.

Derivación[editar]

El material de Mooney-Rivlin es un caso especial de "material de Rivlin generalizado" (también llamado modelo hiperelástico polinómico[6] ) que tiene la forma:

 W = \sum_{p,q = 0}^N C_{pq} (\bar{I}_1 - 3)^p~(\bar{I}_2 - 3)^q +
\sum_{m = 1}^M D_m~(J-1)^{2m}

con C_{00} = 0 donde C_{pq} son constantes materiales relacionadas con la respuesta frente a distorsión o cambio de forma y D_m son las constantes elásticas relacionadas con el cambio de volumen. Para un material compresible de Mooney-Rivlin N = 1, C_{01} = C_2, C_{11} = 0, C_{10} = C_1, M=1 y se tiene:

 W = C_{01}~(\bar{I}_2 - 3) + C_{10}~(\bar{I}_1 - 3) + D_1~(J-1)^2

Si C_{01} = 0 se obtiene un material neohookeano, un caso especial de material de Mooney-Rivlin. En el límite de la teoría infinitesimal, por consistencia con la [[Elasticidad (mecánica de sólidos)#Elasticidad lineal |elasticidad lineal]] es necesario que se satisfaga la condición:

 \kappa = 2 \cdot D_1 ~;~~ \mu = 2~(C_{01} + C_{10})

donde \kappa es el módulo de compresibilidad y \mu es el módulo de elasticidad transversal.

Tensor de tensiones de Cauchy e invariantes de deformación[editar]

El tensor de tensiones de Cauchy de un material hiperelástico compresible que posee un estado natural (sin tensión) viene dado por:


 \boldsymbol{\sigma} = \cfrac{2}{J}\left[\cfrac{1}{J^{2/3}}
 \left(\cfrac{\part{W}}{\part \bar{I}_1} + \bar{I}_1~\cfrac{\part{W}}{\part \bar{I}_2}\right)\boldsymbol{B} - \cfrac{1}{J^{4/3}}~\cfrac{\part{W}}{\part \bar{I}_2}~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right]  + \left[\cfrac{\part{W}}{\part J} -
\cfrac{2}{3J}\left(\bar{I}_1~\cfrac{\part{W}}{\part \bar{I}_1} + 2~\bar{I}_2~\cfrac{\part{W}}{\part \bar{I}_2}\right)\right]~\boldsymbol{\mathit{1}}

Para un material de Mooney-Rivlin compresible,

 \cfrac{\part{W}}{\part \bar{I}_1} = C_1 ~;~~ \cfrac{\part{W}}{\part \bar{I}_2} =
 C_2 ~;~~ \cfrac{\part{W}}{\part J} = 2D_1(J-1)

Por tanto, el tensor de tensiones de Cauchy de un material de Mooney–Rivlin compresible viene dado por:

 \boldsymbol{\sigma} =
 \cfrac{2}{J}\left[\cfrac{1}{J^{2/3}}\left(C_1 + \bar{I}_1~C_2\right)\boldsymbol{B} -
 \cfrac{1}{J^{4/3}}~C_2~\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B} \right] + \left[2D_1(J-1)-
 \cfrac{2}{3J}\left(C_1\bar{I}_1 + 2C_2\bar{I}_2~\right)\right]\boldsymbol{\mathit{1}}

A partir de lo anterior puede demostrarse, que la presión viene dada por

 p := -\tfrac{1}{3}\,\text{tr}(\boldsymbol{\sigma}) =
-\frac{\part W}{\part J} = -2 D_1 (J-1) \,.

La tensión puede expresarse en la forma

 \boldsymbol{\sigma} =
\cfrac{1}{J}\left[-p~\boldsymbol{\mathit{1}} + \cfrac{2}{J^{2/3}}\left(C_1 + \bar{I}_1~C_2\right)\boldsymbol{B} - \cfrac{2}{J^{4/3}}~C_2~\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B}
-\cfrac{2}{3}\left(C_1\,\bar{I}_1 + 2C_2\,\bar{I}_2\right)\boldsymbol{\mathit{1}}\right]

La anterior ecuación se escribe frecuentemente como:

 \boldsymbol{\sigma} = \cfrac{1}{J}\left[-p~\boldsymbol{\mathit{1}} +
2\left(C_1 + \bar{I}_1~C_2\right)\bar{\boldsymbol{B}} -
   2~C_2~\bar{\boldsymbol{B}}\cdot\bar{\boldsymbol{B}} -\cfrac{2}{3}\left(C_1\,\bar{I}_1 + 2C_2\,\bar{I}_2\right)\boldsymbol{\mathit{1}}\right]

donde:

\bar{\boldsymbol{B}} = J^{-2/3}\,\boldsymbol{B}

Para un material de Mooney-Rivlin incompresible con  J = 1

 \boldsymbol{\sigma} =  2\left(C_1 + I_1~C_2\right)\boldsymbol{B} -
   2C_2~\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B} -\cfrac{2}{3}\left(C_1\,\bar{I}_1 + 2C_2\,\bar{I}_2\right)\boldsymbol{\mathit{1}}

Nótese que si J=1 entonces:

 \det(\boldsymbol{B}) = \det(\boldsymbol{F})\det(\boldsymbol{F}^T) = 1

Entonces, del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que:

 \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B} - I_1~\boldsymbol{B} + I_2~\boldsymbol{\mathit{1}}

De ahí se tiene que el tensor de tensiones de Cauchy puede expresarse también como:

 \boldsymbol{\sigma} = -p^{*}~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2 C_1~\boldsymbol{B} - 2C_2~\boldsymbol{B}^{-1}

donde p^{*} := \tfrac{2}{3}(C_1~I_1 - C_2~I_2). \,

Tensión de en términos de alargamientos principales[editar]

En términos de los alargamientos principales, el tensor de tensiones de Cauchy para un material hiperelástico incompresible viene dada por:

 \sigma_{11} - \sigma_{33} = \lambda_1~\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_1} - \lambda_3~\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_3} ~;~~
  \sigma_{22} - \sigma_{33} = \lambda_2~\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_2} - \lambda_3~\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_3}

para un material de Mooney-Rivlin incompresible:

 W = C_1(\lambda_1^2 +  \lambda_2 ^2+ \lambda_3 ^2 -3) + C_2(\lambda_1^2 \lambda_2^2 +  \lambda_2^2 \lambda_3^2 + \lambda_3^2 \lambda_1^2 -3) ~;~~ \lambda_1\lambda_2\lambda_3 = 1

Por tanto,

 \lambda_1\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_1} = 2C_1\lambda_1^2 +
       2C_2\lambda_1^2(\lambda_2^2+\lambda_3^2) ~;~~
       \lambda_2\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_2} = 2C_1\lambda_2^2 +
       2C_2\lambda_2^2(\lambda_1^2+\lambda_3^2)  ~;~~
       \lambda_3\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_3} = 2C_1\lambda_3^2 +
       2C_2\lambda_3^2(\lambda_1^2+\lambda_2^2)

Puesto que \lambda_1\lambda_2\lambda_3=1, se puede escribir como:

 \begin{align}
   \lambda_1\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_1} & = 2C_1\lambda_1^2 + 2C_2\left(\cfrac{1}{\lambda_3^2}+\cfrac{1}{\lambda_2^2}\right) ~;~~
   \lambda_2\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_2}  = 2C_1\lambda_2^2 + 2C_2\left(\cfrac{1}{\lambda_3^2}+\cfrac{1}{\lambda_1^2}\right) \\
   \lambda_3\cfrac{\partial{W}}{\partial \lambda_3} & = 2C_1\lambda_3^2 + 2C_2\left(\cfrac{1}{\lambda_2^2}+\cfrac{1}{\lambda_1^2}\right)
   \end{align}

Entonces las expresiones para el tensor de tensiones de Cauchy se expresan como:


  \sigma_{11}-\sigma_{33} = 2C_1(\lambda_1^2-\lambda_3^2) - 2C_2\left(\cfrac{1}{\lambda_1^2}-\cfrac{1}{\lambda_3^2}\right)~;~~
  \sigma_{22}-\sigma_{33} = 2C_1(\lambda_2^2-\lambda_3^2) - 2C_2\left(\cfrac{1}{\lambda_2^2}-\cfrac{1}{\lambda_3^2}\right)


Caucho[editar]

La respuesta elástica de materiales de tipo goma o caucho se modeliza frecuentemente como un material de Mooney—Rivlin model. Las constantes C_1,C_2 se determinan experimentalmente ajustando los datos experimentales mediante las ecuaciones anteriores. Los ensayos recomendados son el ensayo uniaxial de tracción, la compresión y tracción equibiaxiales, la compresión uniaxial, y para la respuesta de cortante la tracción y compresión planas. Los dos parámetros del modelo de Mooney–Rivlin proporcionan respuestas adecuadas para deformaciones inferiores al 100%.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Mooney, M., 1940, A theory of large elastic deformation, Journal of Applied Physics, 11(9), pp. 582-592.
  2. Rivlin, R. S., 1948, Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 241(835), pp. 379-397.
  3. Boulanger, P. and Hayes, M. A., 2001, Finite amplitude waves in Mooney–Rivlin and Hadamard materials, in Topics in Finite Elasticity, ed. M. A Hayes and G. Soccomandi, International Center for Mechanical Sciences.
  4. C. W. Macosko, 1994, Rheology: principles, measurement and applications, VCH Publishers, ISBN 1-56081-579-5.
  5. El polinomio característico de un operador lineal corresponde al tensor tridimensional de Finger de segundo orden (también llamado tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo) se escribe usualmente como
    p_B (\lambda) = \lambda^3 - a_1 \, \lambda^2 + a_2 \, \lambda - a_3 \,
    In this article, the trace a_1 is written I_1, the next coefficient a_2 is written I_2, and the determinant a_3 would be written I_3.
  6. Bower, Allan (2009). Applied Mechanics of Solids. ISBN 978-1-4398-0247-2. Consultado el January 2010.  Parámetro desconocido |editorail= ignorado (ayuda)

Bibliografía[editar]

  • R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.