Matemática incaica

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Quipukamayuq con su quipu y una yupana, los principales instrumentos que usaron los incas en matemáticas.

En el campo de la matemática los incas se destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó a los incas una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; conocieron el cero,[1] y dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaron partes del cuerpo humano como referencia.

Sistema de numeración[editar]

Representación de un quipu, instrumento de contabilidad y nemotécnico inca.

Se tiene noción que en el Imperio inca el sistema de numeración imperante era el decimal.[cita requerida] Una de las principales referencias que confirman esto son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas decimalmente.

Encargado Cantidad de familias
Puriq 1 familia
Pichqa kamayuq 5 familias
Chunka kamayuq 10 familias
Pichqa chunka kamayuq 50 familias
Pachaka kamayuq 100 familias
Pichqa pachaka kamayuq 500 familias
Waranqa kamayuq 1.000 familias
Pichqa waranqa kamayuq 5.000 familias
Hunu kamayuq 10.000 familias

También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.[2]

Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal, como se puede apreciar en el siguiente cuadro (el quechua usado es el estándar de Cuzco):

Números Quechua Números Quechua Números Quechua
1 Huk 11 Chunka hukniyuq 30 Kimsa chunka
2 Iskay 12 Chunka iskayniyuq 40 Tawa chunka
3 Kimsa 13 Chunka kimsayuq 50 Pisqa chunka
4 Tawa 14 Chunka tawayuq 60 Suqta chunka
5 Pisqa 15 Chunka pisqayuq 70 Qanchis chunka
6 Suqta 16 Chunka suqtayuq 80 Pusaq chunka
7 Qanchis 17 Chunka qanchisniyuq 90 Isqun chunka
8 Pusaq 18 Chunka pusaqniyuq 100 Pachak
9 Isqun 19 Chunka isqunniyuq 1.000 Waranqa
10 Chunka 20 Iskay chunka 1.000.000 Hunu

Sistemas de contabilidad[editar]

Quipus[editar]

Quipus incaicos, elementos fundamentales en la administración y contabilidad del Imperio inca.

Los quipus constituyeron un sistema nemotécnico basado en cuerdas anudadas, mediante las cuales se registraban todo tipo de información cuantitativa o cualitativa; si se trataban de resultados de operaciones matemáticas, sólo se anulaban las realizadas anteriormente en los "ábacos incas" o yupanas. Si bien una de sus funciones se relaciona con la matemática al ser un instrumento capaz de contabilizar, también era utilizado para guardar información de noticias censales, de montos de productos y de subsistencias conservadas en los depósitos estatales.[3] [4] Incluso hay quienes mencionan a los quipus como instrumentos donde los incas dejaban (de un modo diferente al escrito) sus tradiciones e historia.

Diversos cronistas mencionan además el uso de quipus para guardar noticias históricas,[5] sin embargo, aún no se ha descubierto cómo funcionaba este sistema. En el Tahuantinsuyo, era personal especializado el manejaba las cuerdas, se le conocía como quipucamayoc y podía llegar a tener a su cargo las cuerdas de toda una región o suyu. Si bien la tradición está perdiéndose, los quipus continúan usándose como instrumentos mnemotécnicos en algunos poblados indígenas donde sirven para registrar los productos de las cosechas y los animales de las comunidades.[4]

Según el cronista jesuita Bernabé Cobo (1983 [1653]: 253–254),[6] los Incas designaban a ciertos especialistas las tareas relativas a la contabilidad. Estos especialistas eran llamados quipo camayos, en los cuales los Incas ponían toda su confianza. En su estudio de la muestra de quipu VA 42527 (Museum für Völkerkunde, Berlín), Sáez-Rodríguez (2013)[7] observó que, con el fin de cerrar los libros de contabilidad de las chacras, ciertos números eran ordenados según su valor en el calendario agrícola, de los cuales se encargaba directamente el khipukamayuq (el contable en cuyas manos se encontraba el granero).[8]

Yupanas[editar]

Yupana, conocida también como ábaco inca. Su potencial de contabilidad es aún muy discutido.

En el caso de la información numérica, las operaciones matemáticas eran realizadas previamente en los ábacos o yupanas. Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros o compartimentos que correspondían a las unidades decimales y se contaba o señalaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz o quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas, etc. de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación.

Investigaciones recientes en relación a los yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal,[9] sino basados en relación al número 40. De ser cierto, es curioso notar la coincidencia entre la progresión geométrica conseguida en el yupana y los actuales sistemas de procesamiento;[10] por otro lado también resulta contradictorio el hecho de basar su sistema de contabilidad en el número 40, de seguir las investigaciones y confirmarse este hecho, habría que comparar su uso con el sistema decimal, que según la tradición histórica e investigaciones anteriores, era el que usaban los incas.[11]

En octubre de 2010 el investigador peruano Andrés Chirinos con el apoyo de la Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo (AECID), revisando dibujos y descripciones antiguas del cronista indígena Guaman Poma de Ayala, descifró finalmente el acertijo de la Yupana que básicamente es una tabla con once agujeros, que el denomina "calculadora prehispánica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir y posiblemente también registrar textos, lo cual le hace tener esperanzas en descubrir finalmente como funcionaban los quipus.[12]

Unidades de medida[editar]

Existieron diferentes unidades de medida para magnitudes como la longitud y el volumen en tiempos prehispánicos. Los pueblos andinos, como en muchos otros lugares del mundo, tomaron el cuerpo humano como referencia para establecer sus unidades de medida. No existió un sistema de unidades estándar en todo el mundo andino; muchos documentos y crónicas han registrado diferentes sistemas de origen local que siguieron en uso hasta el siglo XVI, aunque algunas medidas sí debieron ser estandarizadas por los incas, al organizar el Tahuantinsuyo.

Longitud[editar]

Entre las unidades de medida de longitud, existió la rikra (braza), que es la distancia medida entre los dedos pulgares del hombre teniendo los brazos extendidos horizontalmente. El cuchuch tupu equivalía al "codo castellano" y era la distancia medida desde el codo hasta el extremo de los dedos de la mano. Estaba también la capa (palmo), y la más pequeña fue el yuku (jeme), que era la longitud existente entre el índice y el dedo pulgar, separando uno del otro lo máximo posible.

Superficie[editar]

El tupu era la unidad de medida de la superficie. En términos generales se definía como el lote de tierra requerido para el mantenimiento de un matrimonio sin hijos. Todo hatun runa u hombre común recibía una parcela al casarse, debiendo satisfacer su producción las necesidades básicas de alimentación e intercambio de cónyuges. No correspondía a una medida exacta, pues sus dimensiones variaban según las condiciones de cada terreno y de una etnia a otra.[13] Se tomaba en cuenta la calidad del suelo y de acuerdo con ello se calculaba el tiempo de descanso necesario que debía considerarse luego de un cierto número de campañas agrícolas. Pasado ese tiempo, la pareja podía reclamar a su curaca un nuevo tupu.

Capacidad[editar]

Entre las unidades de medida de capacidad está la pokcha, que equivalía a media fanega o 27,7 litros. Algunos cultivos como el maíz eran medidos en recipientes; los líquidos se medían en una variedad de cántaros y tinajas. Había cajas de variedad de cántaros y tinajas. Había cajas de paja o junco en los que se guardaban objetos. Estas cajas también eran utilizadas en los depósitos para almacenar productos delicados o exquisitos, como las frutas secas. Las hojas de coca eran medidas en runcus o grandes cestas. Otros cestos eran conocidos como ysangas. Entre estas medidas de capacidad se encuentra el poctoy (almozada), que equivale a la porción de granos o harina que entra en la concavidad formada con las manos juntas. Los antiguos pobladores de los andes conocieron las balanzas de platillos y redes así como al huipe, instrumento parecido a las romanas.[14] Al parecer, su presencia se asocia con los trabajos de orfebrería y metalurgia, oficios en los que es necesario conocer los pesos exactos para utilizar las proporciones adecuadas en las aleaciones.

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. Ascher M. y Ascher R. (1985). «El quipu como lenguaje visible». En Heather Lechtman, Ana María Soldi. La tecnología en el mundo andino 1. México D.F.: UNAM. ISBN 9789688372937. 
  2. Alfabetos de ayer y de hoy, Quipu. Revisado el 16-01-2008.
  3. Eugenio M. Fedriani Martel & Ángel F. Tenorio Villalón, Los sistemas de numeración maya, azteca e inca, pág. 184.
  4. a b María Rostworowski, "Los Incas", Historia del Tahuantinsuyo, Los quipus. Revisado el 16-01-2008.
  5. Cronistas con puntos de vista tan diversos como Garcilaso de la Vega, Guamán Poman y Cieza de León (conocido por su rigurosidad histórica) mencionan el uso de quipus para guardar datos históricos y poesía, si bien ninguno detalla de que modo funcionaban.
  6. Cobo, B. (1983 [1653]). Obras del P. Bernabé Cobo. Vol. 1. Edited and preliminary study By Francisco Mateos. Biblioteca de Autores Españoles, vol. 91. Madrid: Ediciones Atlas.
  7. Sáez-Rodríguez. A. (2012). An Ethnomathematics Exercise for Analyzing a Khipu Sample from Pachacamac (Perú). Revista Latinoamericana de Etnomatemática. 5(1):62–88.
  8. Sáez-Rodríguez. A. (2013). Knot numbers used as labels for identifying subject matter of a khipu. Revista Latinoamericana de Etnomatemática. 6(1): 4-19.
  9. Eugenio M. Fedriani Martel & Ángel F. Tenorio Villalón, Los sistemas de numeración maya, azteca e inca, págs. 186–187.
  10. Diario "La Gaceta", Tucumán, Argentina, Descifraron la "calculadora" incaica. 26 de enero de 2004.
  11. Diario "Los Andes", Mendoza, Argentina, Aseguran que el sistema de cálculo incaico se basaba en el número 40.... 26 de enero del 2004.
  12. [1].
  13. Waldemar Espinoza, Los Incas, pág. 158.
  14. Waldemar Espinoza, Los Incas, pág. 161.

Bibliografía[editar]

  • Espinoza Soriano, Waldemar (2003). Los Incas, economía, sociedad y estado en la era del Tahuantinsuyo. Editorial Sol 90. ISBN 9972-891-79-8. 
  • Muxica Editores (2001). Culturas Prehispánicas. Muxica Editores. ISBN 9972-617-10-6.