Mapeado Schwarz-Christoffel

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En análisis complejo, un mapeado Schwarz–Christoffel es una transformación conforme del semi-plano superior por el interior de una polígono simple. El mapeado Schwarz–Christoffel es utilizado en teoría del potencial y en algunas de sus implicancias, incluyendo superficies mínimas y dinámica de fluidos. Fue denominado así por Elwin Bruno Christoffel y Hermann Amandus Schwarz.

Definición[editar]

Considera un polígono en el plano complejo. El Teorema de representación conforme de Riemann implica que hay un mapeado biyectivo biholomórfico f desde el semi-plano superior

 \{ \zeta \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}\,\zeta > 0 \}

hacia el interior del polígono. La función f mapea el eje real hacia los límites del polígono. Si el polígono tiene ángulos interiores \alpha,\beta,\gamma, \ldots, entonces ese mapeado está dado por


f(\zeta) = \int^\zeta \frac{K}{(w-a)^{1-(\alpha/\pi)}(w-b)^{1-(\beta/\pi)}(w-c)^{1-(\gamma/\pi)} \cdots} \,\mbox{d}w

donde K es una constante, y a < b < c < ... son los valores, junto al eje real del plano \zeta, de puntos correspondientes a los vértices del polígono en el plano z. Una transformación de esta forma es llamada un Mapeo Schwarz–Christoffel.

Usualmente es conveniente considerar el caso en el cual el punto del infinito del plano \zeta mapea hacia uno de los vértices del plano z del polígono (convencionalmente el vértice con ángulo \alpha). Si esto sucede, el primer factor de la fórmula es efectivamente una constante y puede considerarse como absorbida dentro de la constante K.