Método de distribución de momentos

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El Método de redistribución de momentos o método de Cross[1] es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera mucho más sencillo han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.

Introducción[editar]

En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración.

El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de los métodos de desplazamiento del análisis estructural.

Implementación[editar]

En disposición de aplicar el método de redistribución de momentos para analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado.

Momentos de empotramiento en extremos fijos[editar]

Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.

Rigidez a la Flexión[editar]

La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto del módulo de elasticidad (E) y el Segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.

Coeficientes de distribución[editar]

Los coeficientes de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. Un momento no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en él, esta distribución se hace directamente proporcional a la rigidez a la flexión que presenta cada uno de estos miembros.

Coeficientes de transmisión[editar]

Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisión.

  • -Valores típicos:
    • 0,5 para nodos sin empotramiento
    • 0 para nodos empotrados

Convención de signos[editar]

Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la [convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios.

Estructuras de marcos[editar]

Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método de distribución de momentos.

Ejemplo[editar]

Example.

La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.

  • Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud  L = 10 \ m .
  • Las rigideces a Flexion son EI, 2EI, EI respectivamente.
  • Cargas concentradas de magnitud  P = 10 \ kN actúan a una distancia  a = 3 \ m desde el soporte A.
  • Carga uniforme de intensidad  q = 1 \ kN/m actúa en BC.
  • Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud  P = 10 \ kN .

En los siguientes cálculos, los momentos antihorarios son positivos.

Momentos en Extremos Fijos[editar]

M _{AB} ^f = \frac{Pab^2}{L^2} = \frac{10 \times 7^2 \times 3}{10^2} = - 14.700 \ kN\cdot m
M _{BA} ^f = - \frac{Pa^2b}{L^2} = - \frac{10 \times 3^2 \times 7}{10^2} = + 6.300 \ kN\cdot m
M _{BC} ^f = \frac{qL^2}{12} = \frac{1 \times 10^2}{12} = - 8.333 \ kN\cdot m
M _{CB} ^f = - \frac{qL^2}{12} = - \frac{1 \times 10^2}{12} = + 8.333 \ kN\cdot m
M _{CD} ^f = \frac{PL}{8} = \frac{10 \times 10}{8} = - 12.500 \ kN\cdot m
M _{DC} ^f = - \frac{PL}{8} = - \frac{10 \times 10}{8} = + 12.500 \ kN\cdot m

Coeficientes de Reparto[editar]

D_{BA} = \frac{\frac{3EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.2727
D_{BC} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.7273
D_{CB} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.6667
D_{CD} = \frac{\frac{4EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.3333

Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son D_{AB} = D_{DC} = 1 .

Coeficientes de transmisión[editar]

Los coeficientes de transmisión son  \frac{1}{2} (porque la sección es constante), excepto para el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.

Distribución de Momentos[editar]

MomentDistributionMethod2.jpg
Articulación A Articulación B Articulación C Articulación D
Coeficientes de reparto 0 1 0.2727 0.7273 0.6667 0.3333 0 0
Momentos en Extremos Fijos 14.700 -6.300 8.333 -8.333 12.500 -12.500
Paso 1 -14.700 -7.350
Paso 2 1.450 3.867 1.934
Paso 3 -2.034 -4.067 -2.034 -1.017
Paso 4 0.555 1.479 0.739
Paso 5 -0.246 -0.493 -0.246 -0.123
Paso 6 0.067 0.179 0.090
Paso 7 -0.030 -0.060 -0.030 -0.015
Paso 8 0.008 0.022 0.011
Paso 9 -0.004 -0.007 -0.004 -0.002
Paso 10 0.001 0.003
Suma de Momentos 0 -11.569 11.569 -10.186 10.186 -13.657

Números en gris son momentos balanceados; flechas ( → / ← ) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.

Resultados[editar]

  • Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos.
M_A = 0 \ \mathrm{kN \cdot m}
M_B = -11.569 \ \mathrm{kN \cdot m}
M_C = -10.186 \ \mathrm{kN \cdot m}
M_D = -13.657 \ \mathrm{kN \cdot m}
La convención de signos usual en ingeniería es usada aquí, i.e. Los momentos positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga.

Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando un método matricial. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo fue llevado a >0.01 de precisión. El hecho de que el resultado de análisis de matriz y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión es mera coincidencia.

  • Momentos en articulaciones determinados por el método matricial
M_A = 0 \ \mathrm{kN \cdot m}
M_B = -11.569 \ \mathrm{kN \cdot m}
M_C = -10.186 \ \mathrm{kN \cdot m}
M_D = -13.657 \ \mathrm{kN \cdot m}

Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las juntas. Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio interno de la sección.

DEC DMF
MomentDistributionMethodSFD.jpg MomentDistributionMethodBMD.jpg
Diagrama de esfuerzos cortantes. Diagrama de momentos flectores.

Referencias[editar]

  1. Ofinalca/Santa Teresa del Tuy (7 de abril de 2012). «TEORIA DE ESTRUCTURAS II - UNIDAD 1 - METODO DE CROSS» (en español). Consultado el 08 de marzo de 2013.

Véase también[editar]