Límite (teoría de categorías)

En teoría de categorías, una rama de la matemática, la noción abstracta de límite captura las propiedades esenciales de las construcciones universales tales como productos y límites inversos. La noción dual de colímite generaliza construcciones tales como uniones disjuntas, sumas directas, coproductos, pushouts y límites directos.

Los límites y colímites, como las nociones fuertemente relacionadas con propiedades universales y funtores adjuntos, existen a un gran nivel de abstracción. De manera que, para entenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos de esos conceptos que serán luego objeto de generalización.

Definición[editar]

Empezamos definiendo el cono (en el sentido teoría de categorías) de un funtor covariante $F:J\rightarrow C$ , ayudándonos del siguiente diagrama, que constará de:

dos objetos de la categoría J: X e Y,
un morfismo f, de dicha categoría, f:X $\rightarrow$ Y,
las imágenes por F de los dos objetos X e Y,
la "F-imagen" del morfismo f (imagen de f por F: F(f)),
un objeto L de la categoría C, "vértice" del "cono", y
los conjuntos de morfismos X e Y (los llamamos igual que los objetos X e Y), que constan de todos los morfismos desde L a F(X), y desde L hacia F(Y).

Si el objeto en J es X, en la definición de cono que damos decimos "X" también al conjunto de flechas que van del objeto L sobre el que hacemos el cono hacia dicho X. Además, el cono sobre L lo denotaremos así: (L, X), queriendo decir que hacemos la colección de todas las familias de flechas que apuntan desde L, esto es, esos conjuntos de flechas "X" en la categoría codominio del funtor F y que hemos denominado "varias" para sugerir que pueden ser varias.

Un límite del funtor F es entonces un "cono universal". Esto es, decimos que el cono (L, X) es un límite para el funtor F si y sólo si para todo otro cono (N, X) de F, existe un único morfismo u: N $\rightarrow$ L tal que X · u = X. Esto es, podemos decir que los morfismos X factorizan a través de L con la factorización única u.

Las definiciones de colímite y de cocono se obtienen considerando la definición dual a las de límite y cono.