Ley potencial

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Un ejemplo gráfico de ley potencial, usado para demostrar el ranking de popularidad. A la derecha se encuentra la larga cola (muchos elementos individualmente poco populares), y a la izquierda los pocos elementos que son más populares.

Una ley potencial es un tipo especial de relación matemática entre dos cantidades. Estos dos cantidades pueden ser, o bien dos variables diferentes (por ejemplo, el metabolismo basal de una especie y su masa corporal -de acuerdo a la llamada ley de Kleiber-, o el tamaño de una ciudad y el número de patentes que produce), o bien una variable y su propia frecuencia. En estos últimos casos, denominados leyes potenciales de rango-frecuencia, las frecuencias son proporcionales al valor de la variable elevado a un exponente constante; por ejemplo, un terremoto de doble intensidad es cuatro veces más improbable. Las leyes potenciales se encuentran tanto en la naturaleza como en ámbitos artificiales, y son un campo de estudio activo por la comunidad científica.

Definición[editar]

Una relación en forma de ley potencial entre dos escalares x e y es aquella que puede expresarse como sigue:

y = ax^k\;\!,

donde a (la constante de proporcionalidad) y k (el exponente de la potencia) son constantes.

La ley potencial puede interpretarse como una línea recta en un gráfico doble-logarítmico, ya que la ecuación anterior se puede expresar de la forma:

\log(y) = k\log(x) + \log(a)\;\!,

que es la ecuación de una línea recta:

w = ku+c\;\!.


Propiedades de leyes potenciales[editar]

Invariancia de escala[editar]

El principal interés de las leyes potenciales radica en su invariancia de escala. La función f(x) = ax^k (donde a y k son constantes), satisface la relación:

f(c x) = a(c x)^k = c^{k}f(x) \propto f(x),\!

para toda constante c. Esto es, al multiplicar el argumento x por c, únicamente estamos multiplicando la ley potencial original por la constante c^k. En este sentido, se dice que la función f(x) es invariante de escala. Esta propiedad hace que una ley potencial quede determinada por su exponente, formando las funciones con el mismo exponente una clase de equivalencia. La invariancia de escala de la ley de potencia permite realizar estadísticas sobre las diferentes escalas de observación, para estimar el exponente.[1]

Carencia de media bien definida[editar]

Las leyes potenciales solo tienen una media bien definida para exponentes mayores que 2. De igual modo, solo tienen una varianza finita cuando el exponente es mayor que 3.[2] Esto hace que sea técnicamente incorrecto aplicar las estadísticas tradicionales basadas en la varianza y desviación estándar (como el análisis de regresión), siendo más adecuadas otras herramientas como el análisis costo-eficiencia.[3] Por ejemplo, asumiendo que en una determinada región la emisión contaminante de automóviles se distribuye según una ley potencial (muy pocos automóviles contribuyen a la gran mayoría de la contaminación), sería suficiente eliminar una pequeña proporción de automóviles (los más contaminantes) para reducir sustancialmente la contaminación total.[4]

Ejemplos[editar]

Estas expresiones potenciales pueden observarse en muchos campos, como la física, la biología, la geografía, la sociología, la economía y la lingüística.

Ejemplos de relaciones potenciales[editar]

Ejemplos de ley potencial[editar]

R(t) = at^{-b}\, \!

Estos casos parecen ajustar fenómenos tan dispares como la popularidad de una red en Internet, la riqueza de las personas (distribución de Pareto) y la frecuencia de las palabras en un texto.

Referencias[editar]

  1. Guerriero V.. «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». J. Mod. Math. Fr. (2012). http://www.sjmmf.org/paperinfo.aspx?ID=886. 
  2. Newman M. Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law. Contemporary Phys 2005, 46, 323
  3. a b "Hilbert, M. (2013), Scale-free power-laws as interaction between progress and diffusion.", Martin Hilbert (2013), Complexity (journal), doi: 10.1002/cplx.21485; free access to the article through this link: martinhilbert.net/Powerlaw_ProgressDiffusion_Hilbert.pdf
  4. Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; http://gladwell.com/million-dollar-murray/
  5. Bak, P., Tang, C. and Wiesenfeld, K. (1987). «Self-organized criticality: an explanation of 1/f noise». Physical Review Letters 59:  pp. 381–384. doi:10.1103/PhysRevLett.59.381. 
  6. S. Boccaletti et al., Complex Networks: Structure and Dynamics, Phys. Rep., 424 (2006), 175-308.
  7. Wickelgren, W. A. (1974). Single-trace fragility theory of memory dynamics. Mem. Cogn., 2:775–780.