Ley de potencias

Un ejemplo gráfico de ley de potencias, usado para demostrar el ranking de popularidad. A la derecha se encuentra la larga cola (muchos elementos individualmente poco populares), y a la izquierda los pocos elementos que son más populares.

Una ley de potencias es un tipo especial de relación matemática entre dos cantidades. Aplicada a la estadística, si estas dos cantidades son la variable aleatoria y su frecuencia, en una distribución de ley de potencias, las frecuencias decrecen según un exponente cuando la variable aleatoria aumenta. Por ejemplo, un terremoto de doble intensidad es cuatro veces más improbable. Si este patrón se mantiene para los terremotos de todas las intensidades, se dice que la distribución "escala". Las leyes de potencias también describen otros tipos de relaciones, como el metabolismo basal de una especie y su masa corporal (llamada ley de Kleiber), o el tamaño de una ciudad y el número de patentes que produce. Lo que esta relación indica es que no hay tamaño típico en un sentido convencional. Las leyes de potencias se encuentran tanto en la naturaleza como en ámbitos artificiales, y son un campo de estudio activo por la comunidad científica.

Definición

Una relación en forma de ley de potencias entre dos escalares x e y es aquella que puede expresarse como sigue:

$y = ax^k\,\!$

donde a (la constante de proporcionalidad) y k (el exponente de la potencia) son constantes.

La ley de potencias puede interpretarse como una línea recta en un gráfico doble-logarítmico, ya que la ecuación anterior se puede expresar

$\log(y) = k\log(x) + \log(a)\,\!$

la cual presenta la misma forma que la ecuación de una línea recta

$y = mx+c\,\!$

Invariancia de escala

El principal interés de las leyes de potencias radica en su invariancia de escala. La función $f(x) = ax^k$ (donde $a$ y $k$ son constantes), satisface la relación:

$f(c x) = a(c x)^k = c^{k}f(x) \propto f(x),\!$

para toda constante $c$. Esto es, al multiplicar el argumento $x$ por $c$, únicamente estamos multiplicando la ley de potencias original por la constante $c^k$. En este sentido, se dice que la función $f(x)$ es invariante de escala. Esta propiedad hace que una ley de potencias quede determinada por su exponente, formando las funciones con el mismo exponente una clase de equivalencia. La invariancia de escala de la ley de potencia permite realizar estadísticas sobre las diferentes escalas de observación, para estimar el exponente.

Ejemplos

Estas expresiones potenciales pueden observarse en muchos campos, como la física, la biología, la geografía, la sociología, la economía y la lingüística.

Ejemplos de relaciones potenciales

• La ley de Stefan-Boltzmann
• La ley de Gompertz de mortalidad
• La corrección gamma: relación entre los flujos de incidente y emitido.
• La ley de Kleiber que relaciona el metabolismo de un animal con su tamaño
• Los exponentes críticos involucrados en las transiciones de fase.
• la criticalidad autorganizada, que explica la frecuencia de eventos o efectos de distinta magnitud en múltiples campos, por ejemplo la ley de Gutenberg-Richter para evaluar la magnitud de los terremotos.
• La curva de aprendizaje.
• En teoría de redes, las redes complejas libres de escala, donde la distribucion de la conectividad está dada por una ley potencial.
• El espectro diferencial de energía de los núcleos de rayos cósmicos.

Ejemplos de ley de potencias

• Distribución de probabilidad.
• Distribución Pareto.
• Distribución Weibull.
• Función del olvido según Wickelgren (1974):

$R(t) = at^{-b}\, \!$

• Ley de Zipf.

Estos casos parecen ajustar fenómenos tan dispares como la popularidad de una red en Internet, la riqueza de las personas (ley de Pareto) y la frecuencia de las palabras en un texto.

Referencias

• Newman, M. E. J. (2005). «Power laws, Pareto distributions and Zipf's law». Contemporary Physics 46:  pp. 323–351. doi:10.1080/00107510500052444. http://www.journalsonline.tandf.co.uk/openurl.asp?genre=article&doi=10.1080/00107510500052444. 
• Laherrere, J. and D. Sornette (1998). «Stretched exponential distributions in Nature and Economy: ``Fat tails with characteristic scales». European Physical Journal B 2:  pp. 525–539. doi:10.1007/s100510050276. http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/9801293. 
• Critical Phenomena in Natural Sciences (Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools), Didier Sornette & Francisco Suelves (2006) 2nd ed., 2nd print (Edicions UPC).