Ley de los grandes números

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En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de La ley de los grandes números se engloban varios teoremas que escriben el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

Ley débil[editar]

La ley débil de los grandes números establece que si X1, X2, X3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor esperado \mu y varianza \sigma^2, entonces el promedio

\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

converge en probabilidad a μ. En otras palabras, para cualquier número positivo ε se tiene

\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1.

Ley fuerte[editar]

La ley fuerte de los grandes números establece que si X1, X2, X3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que cumplen E(|Xi|) < ∞   y tienen el valor esperado μ, entonces

\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1,

es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a μ casi seguramente (en un conjunto de probabilidad 1).

Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).