Ley cero-uno de Kolmogórov

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La ley cero-uno de Kolmogórov es un teorema de la teoría de las probabilidades. Llamado así en honor al matemático ruso Andréi Kolmogórov, dice que la probabilidad que cierto tipo de evento llamado evento de cola (tail event en inglés) es cero o uno. Los eventos de cola son aquellos eventos definidos por una sucesión infinita de eventos independientes, pero que son independientes de cualquier subconjunto finito de éstos.

Por ejemplo, supongamos infinitas tiradas de una moneda. El evento: "que salga en total una cantidad finita de caras" es independiente de cualquier número finito de tiradas. Examinando una cantidad finita de tiradas no podemos concluir nada respecto a si la cantidad de caras fue finita o infinita.

Teorema formal y demostración[editar]

Sea \left\{\mathcal{G}_i :i\in \mathbb{N}\right\}\, sigma-álgebras independientes definidas para un espacio \Omega\, y una medida de probabilidad \mathbb{P}\,. Definimos las siguiente sigma-álgebras :

\mathcal{H}_n=\bigcup_{i>n}\mathcal{G}_i,\quad\text{y}\quad \mathcal{H}_{\infty}=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}_n

Entonces, para todo  H\in\mathcal{H}_\infty tenemos que \mathbb{P} H=0 o \mathbb P H=1.

Referencias[editar]

  • David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).