Lenguaje proposicional

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Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del lenguaje proposicional. Para una introducción más accesible véase lógica proposicional
ArbolProposicional.PNG

Dentro de la lógica formal, el lenguaje proposicional estudia las propiedades de los conectivos proposicionales como y, o, no, si y solo si y entonces entre otros, usados en el desarrollo de sistemas lógicos en la lógica matemática.

Para sintetizar gramaticalmente el modelo matemático de lenguaje será necesario introducir unos símbolos para denominar las frases atómicas y otros símbolos, distintos, para denominar los conectivos.

Las fórmulas proposicionales[editar]

En este apartado se definirá lo que serán estructuralmente las fórmulas proposicionales a escala sintáctica sin importar el significado de dichas fórmulas.

Nota histórica[editar]

Aristóteles estableció un primer sistema de leyes para la lógica sugerido por Platón, luego Teofrasto y Eudemo enriquecieron la obra lógica y desarrollaron la lógica proposicional.[1]

Debido a Leibniz se desarrolla un nuevo punto de vista del lenguaje lógico, consiguiendo desvincular las proposiciones de su semántica, simplificando las reglas de deducción como simples reglas de cálculo.[2]

Lenguaje de orden cero[editar]

Se llama lenguaje de orden cero al que, precisamente, utiliza dos tipos de símbolos, uno para designar las letras, átomos o fórmulas atómicas y otro para los símbolos lógicos o conectivos que tienen su propia anidad o ariedad(expresiones a las que afecta y enlaza).

Las elecciones primigenias de los símbolos lógicos no son únicas, pero dichas elecciones de símbolos son equivalentes entre ellas, es decir, que a partir de un par de símbolos lógicos se puede incluir las propiedades de otros símbolos lógicos y viceversa.

Definición de símbolos lógicos[editar]

Sea  X_{}^{} el conjunto de letras o fórmulas atómicas.

Sea el objeto  \neg_{}^{} el símbolo lógico de negación.

Sea el objeto  \to_{}^{} el símbolo lógico de implicación.

Sean los objetos ( y ) los paréntesis encargados de los símbolos de puntuación.

Definiciones secundarias[editar]

Sea S:= X \cup \{ \neg ,\; \to \} \cup \{ ( ,\; ) \} el conjunto de símbolos del lenguaje o alfabeto.

Se considera, dentro de S_{}^{}, que los objetos no son sucesiones finitas de otros objetos. Consecuentemente se tiene que la longitud de una sucesión es constante.

Sea  E:=S^ \ast el conjunto de expresiones del lenguaje, que es el conjunto de palabras sobre el alfabeto.

Para todo elemento a \in E existe un único valor n>0 de modo que a es de S_{}^n, a n se le llama longitud de a.

Ejemplo:

Dado X_{}^{}=\{f,g\} se tiene que una expresión del tipo  f \neg \to ) g \to \; \in S_{}^6 \subset E

Observación:

En E están todas las expresiones del lenguaje que se pueden hacer a partir del alfabeto S. Para separar las expresiones, que por un lado no tienen sentido de las que por otro lado están bien formadas o son sintácticamente correctas, se ha de establecer unas normas y reglas para usar los símbolos de puntuación.

Operación negación e implicación[editar]

A cada símbolo lógico se le asocia una operación interna sobre el conjunto de expresiones, así se formalizan las expresiones bien formadas mediante su construcción.

Negación: Operación unaria definida por la aplicación:

\begin{matrix}E & \longrightarrow & E & \\ a & \longmapsto & ( \neg a ) & := <(> \circ < \neg > \circ < a > \circ < ) >. \end{matrix}

Implicación: Operación binaria definida por la aplicación:

\begin{matrix}E \times E & \longrightarrow & E & \\ < a ,\; b > & \longmapsto & ( a \to b ) & := <(> \circ < a > \circ < \to > \circ < b > \circ < ) >. \end{matrix}

Ejemplo:

Dado  X_{}^{}=\{f,g\} tenemos que:
La negación de  f g \to ( es  ( \neg f g \to ( ).
La implicación de  ) \to \to g a  f \neg es  ( ) \to \to g \to f \neg ).

Si se desea ver un trabajo equivalente con notación polaca, ahorrando los paréntesis, consúltese Pla J., posteriormente se podrá probar que las dos notaciones son equivalentes, de hecho no son necesarios los paréntesis en la definición polaca, y que por tanto se podrían haber ahorrado dichos paréntesis.

Con estas dos operaciones ya se puede construir y formalizar el conjunto de expresiones bien formadas conocidas como conjunto de fórmulas proposicionales:

Conjunto de fórmulas proposicionales[editar]

El conjunto de fórmulas proposicionales es el conjunto Prop(X):= \bigcup_{n \geq 0} X_n donde:

\begin{matrix}
{ X_0^{} \;\; } & {=} & {X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; } \\
{X_{n+1}^{} } & {=} & {X_n \cup \{ ( \neg \varphi) : \varphi \in X_n \} \cup \{ ( \varphi \to \psi) : \varphi,\psi \in X_n \} }.
\end{matrix}

Ejemplos:

Dado  X_{}^{}=\{f,g\} tenemos que:
 f \in X_0^{} \subset Prop(X)
 ( \neg f ) \in X_1^{} \subset Prop(X)
 ( g \to f ) \in X_1^{} \subset Prop(X) con g \in X_0^{}
 ( ( g\to f) \to ( \neg f ) ) \in X_2^{} \subset Prop(X).

Comentarios:

  • A las fórmulas proposicionales, las llamaremos simplemente fórmulas. Evitemos llamarlas simplemente proposiciones pues técnicamente dicho término ya está cogido en matemáticas.
  • Se usará letras griegas minúsculas para nombrar cada fórmula arbitraria.
  • Se usará letras griegas mayúsculas para nombrar cada conjunto arbitrario de fórmulas.
  • Se ahorrará los paréntesis al escribir fórmulas atómicas y los paréntesis más exteriores de las fórmulas.
  • Las fórmulas son sucesiones finitas.

Rango de una fórmula[editar]

Se llamará rango de una fórmula al valor:

n=min \{ i : \varphi \in X_i \}.

Observación:

El rango será útil para demostrar propiedades por inducción.
Si r < n \Rightarrow X_r \subset X_n.
Si \varphi \in X_r ,\; r < n \Rightarrow \varphi \in X_n.
\{ \neg \psi : \psi \in Prop(X) \} \cap \{ \gamma \to \xi : \gamma , \xi \in Prop(X) \} = \emptyset ya que el primer conjunto tiene globalmente una operación unaria y el segundo una binaria, es decir, que de la raíz del árbol de  \neg \psi_{}^{} sale solo una rama y de la raíz de  \gamma \to \xi_{}^{} parten dos ramas.
Si  rang( \neg \psi ) = n \Rightarrow rang( \psi ) = n-1.
Si  rang( \gamma \to \xi ) = n \Rightarrow rang( \gamma ) = n-1 \; o\;\; rang ( \xi ) = n-1.

En la siguiente proposición la definición del conjunto Prop(X)_{}^{} los elementos están definidos de forma única:

Proposición[editar]

Toda fórmula

\varphi \in Prop(X)

cumple una única condición de las siguientes:

1) \varphi = x \in X.

2) \varphi = \neg \psi para una única fórmula \psi \in Prop(X).

3) \varphi = \psi \to \xi para dos únicas fórmulas \psi,\xi \in Prop(X).

Demostración
Si \varphi \in Prop(X) \Rightarrow \exists n : rang( \varphi )= n \;\; y \; \varphi \in X_n, veamos todos los casos de n por inducción:
Si  n=0_{}^{} \Rightarrow X_0^{}=X \Rightarrow  \varphi = a \in X por tanto únicamente el caso 1).
Si  n > 0_{}^{}, supongamos probado hasta el caso rang( \varphi )=n-1, entonces demostrémoslo para n, así de \varphi \in X_n=X_{n-1} \cup \{ \neg \varphi : \varphi \in X_{n-1} \} \cup \{ \gamma \to \xi : \gamma , \xi \in X_{n-1} parten únicamente 3 casos:
  •  rang( \varphi )=n \Rightarrow \varphi \notin X_{n-1}.
  • Si \varphi = \neg \psi : \psi \in X_{n-1} \Rightarrow rang( \psi ) \leq n-1 \Rightarrow  \psi_{}^{} es único por hipótesis y por tanto cumple 2).
  • Si \varphi = \gamma \to \xi : \gamma, \xi \in X_{n-1} \Rightarrow rang(\gamma)\leq n-1 \;\;y\;\; rang(\xi)\leq n-1 \Rightarrow \gamma\;\; y\;\; \xi son únicos por hipótesis y por tanto cumple 3).

Las dos operaciones no generan un conjunto diferente de Prop(X)_{}^{} a partir de X_{}^{}.

Teorema[editar]

Prop(X)_{}^{} es el conjunto más pequeño que contiene a X_{}^{} , y a su vez cerrado para las operaciones negación y implicación.

Demostración
Directamente X=X_0 \subseteq Prop(X).

Veamos que Prop(X) es cerrado para las operaciones \neg y \to :

Si \varphi \in Prop(X) \Rightarrow \exists n : \varphi \in X_n \Rightarrow \neg \varphi \in X_{n+1} \subset Prop(X).
Si \varphi,\psi \in Prop(X) \Rightarrow \varphi \in X_n y \psi \in X_m \Rightarrow \varphi \to \psi \in X_{n+m+1} \subset Prop(X).

Veamos finalmente por inducción sobre n que es el conjunto más pequeño:

Sea Z \subset E : X \subset Z \varsubsetneq Prop(X) y cerrado para las dos operaciones, entonces:
Si n=0, tenemos X_0=X \subseteq Z.
Supongamos que X_n \subseteq Z \Rightarrow X_n \cup \{ (\neg \varphi):\varphi \in X_n \} \cup \{ (\varphi \to \psi):\varphi,\psi \in X_n\} \subseteq Z \Rightarrow X_{n+1} \subseteq Z por ser Z_{}^{} cerrado por las dos operaciones.
Por tanto quiere decir que Prop(X) \subseteq Z contradiciendo la hipótesis, es decir, rechazando la existencia de dicha Z_{}^{}.

Teorema[editar]

El álgebra  < Prop(X) ,\; \neg ,\; \to > es el álgebra absolutamente libre del tipo (1,2) generado por el conjunto X.

Observación

  • Llamaremos tipo (de similaridad) de una estructura algebraica a la que nos indica la anidad de sus operaciones.
  • Notaremos a un álgebra es del tipo (1, 2) si tiene dos operaciones, una unaria indicada por el uno(\neg que actúa sobre un elemento) y otra binaria indicada por el dos(\to que actúa sobre dos elementos).
  • Diremos que un álgebra está generado por X si es el álgebra más pequeño que contiene el conjunto X y es cerrado por las operaciones.
  • Diremos que un álgebra es absolutamente libre si para cada álgebra  < A ,\; \sim ,\; \Rightarrow > del mismo tipo (1, 2), tenemos que toda función  f: X \to A se puede extender de manera única a un homomorfismo  \bar{f}: Prop(X) \to A.
Demostración
Por construcción  < Prop(X) ,\; \neg ,\; \to > es un álgebra del tipo (1,2).

Por el teorema anterior  < Prop(X) ,\; \neg ,\; \to > está generado por X_{}^{}.

Finalmente para ver que es absolutamente libre:

Sea  < A ,\; \sim ,\; \Rightarrow > un álgebra del tipo (1,2), veamos que toda \begin{matrix}f & X & \longrightarrow & A & \\ a & \longmapsto & f( a ) \end{matrix} puede extenderse de forma única a \begin{matrix} \bar{f} & Prop(X) & \longrightarrow & A & \\ \varphi & \longmapsto & \bar{f}( \varphi ) \end{matrix}, definida recursivamente o mejor por libertad sobre X_n^{}.
Sabemos que \begin{matrix}\bar{f}_{|X_0} & X & \longrightarrow & A & \\ a & \longmapsto & \bar{f}_{|X_0}( a ):=f(a) \end{matrix} ya que X_0^{}=X.
Supongamos que está bien definida para X_n, entonces para \varphi \in X_{n+1} solo queda definir \alpha \in X_{n+1} \backslash X_n = \{ (\neg \varphi):\varphi \in X_n \} \cup \{ (\varphi \to \psi):\varphi,\psi \in X_n\}, es decir, cuando  \alpha= \neg \varphi y  \alpha= \varphi \to \psi tenemos inevitablemente que para ser homomorfismo se tienen que cumplir:
\bar{f}( \neg \varphi ) = \sim \bar{f}(\varphi)
\bar{f}( \varphi \to \psi) = \bar(f)(\varphi) \Rightarrow \bar(f)(\psi)
Queda bien definido para todo n y, es decir, para Prop(X)_{}^{}.
Por tanto \bar{f} es el único homomorfismo de este tipo.

Corolario[editar]

Para cada álgebra  < A ,\; \sim ,\; \Rightarrow > del tipo (1,2) hay una biyección entre las funciones de  X \to A y los homomorfismos  Prop(X) \to A.

Conjunto de subfórmulas[editar]

El conjunto de subfórmulas de una fórmula  \varphi es el conjunto Sb( \varphi )_{}^{} definido por recursión con:

Sb(x) = \{ x \} \; si \; x \in X
Sb( \neg \varphi ) = Sb( \varphi ) \cup \{ \neg \varphi \}
Sb( \varphi \to \psi ) = Sb( \varphi ) \cup Sb( \psi ) \cup \{ \varphi \to \psi \}.

Conjunto de letras[editar]

El conjunto de letras de una fórmula  \varphi \in Prop(X) es el conjunto  X_{\varphi}^{} definido por recursión con:

 X_x= \{ x \} \; si \; x \in X
X_{\neg \varphi} = X_{\varphi}
X_{\varphi \to \psi } = X_{\varphi} \cup X_{\psi}.

Proposición[editar]

Para cada fórmula  \varphi , el conjunto  X_{\varphi}^{} es finito y además es el conjunto más pequeño contenido en X_{}^{} tal que  \varphi \in Prop( X_{\varphi}).

Proposición[editar]

La imagen de toda fórmula solo depende de las imágenes de sus letras.

Lema[editar]

Dada un álgebra  < A ,\; \sim ,\; \Rightarrow > de tipo (1,2) y Z \subset X, si f : X \to A_{}^{} entonces \bar{f}_{|Prop(Z)}=\overline{f_{|Z}}

Abreviaciones[editar]

Las abreviaciones comunes son las siguientes:

  • La disjunción (...o...):  \varphi \lor \psi := ( \neg \varphi ) \to \psi.
  • La conjunción (...i...):  \varphi \land \psi := \neg ( \varphi \to ( \neg \psi )).
  • La equivalència (...si i solo sí...):  \varphi \leftrightarrow \psi := (\varphi \to \psi) \land (\psi \to \varphi).

Eliminación de paréntesis[editar]

Los convenios de eliminación de paréntesis se hacen necesários para reducir la proliferación de paréntesis, para ello y mantener la estructura original de las fórmulas es necesário estos tres:

1)  \neg solo afecta a fórmulas inmediatas.

2)  \lor,\land solo afectan a las fórmulas inmediatas y toma como una fórmula las de tipo 1), \neg \varphi, sin necesidad de paréntesis.

3)  \to,\leftrightarrow afectan de modo global, es decir, toman como una fórmula las de tipo 1) y 2) sin necesidad de paréntesis.

Ejemplo:

  • \neg \varphi \lor \psi \to \xi es la misma que ((\neg \varphi) \lor \psi) \to \xi.

Observación:

Para restaurar los parentesis se hace en el mismo modo primero 1) luego 2) y finalmente 3) como se observa en el ejemplo anterior.

Semántica bivalorada[editar]

Sin significado todas las formulas proposicionales son sintacticamente diferentes unas de otras, excepto si son la misma cadena de símbolos. La introducción de la semántica bivalorada a la gramática proposicional consiste en reducir todas las situaciones posibles a dos: cierto o verdadero y falso. Aparece entonces una relación de equivalencia entre fórmulas que permiten identificar fórmulas equivalentes.

Nota histórica[editar]

Aristóteles desarrolló la parte más importante y sólida de la lógica, pero su semántica tiene un desarrollo embrionario.[3]

Boole desarrolló el primer cálculo lógico sugerido por Leibniz, construyendo cálculos puramente algebraicos mediante símbolos y operaciones. Boole consigue reactivar con su teoría algebraica la lógica proposicional.[4]

Observación intuitiva

Si  \alpha_{}^{} es verdadera, entonces \sim \alpha_{}^{} es falsa.

Igualmente si  \alpha_{}^{} es falsa, entonces \sim \alpha_{}^{} es verdadera.

Supongamos que  \alpha \Rightarrow \beta es verdadero si, siempre que  \alpha_{}^{} es verdad entonces exige que  \beta_{}^{} sea verdad.

Fácilmente:

Si  \alpha_{}^{} es verdad y  \beta_{}^{} es falsa, contradice la afirmación anterior y por tanto sería falsa.
Si  \alpha_{}^{} es falsa y  \beta_{}^{} es verdad, no contradice la afirmación anterior y por tanto sería verdadera.
Si  \alpha_{}^{} es falsa y  \beta_{}^{} es falsa, no contradice la afirmación anterior y por tanto sería verdadera.

Definiciones básicas[editar]

Sean 1 (verdad) y 0 (falso) los dos valores de verdad.

Sea A=\{1,0\}_{}^{}.

Sea \mathbb{A}=<A,\sim , \Rightarrow > el álgebra del tipo (1,2) sobre el conjunto base A_{}^{} y las operación de negación, \sim_{}^{}, e implicación,  \Rightarrow .

Observación

La observación anterior quedaría descrita como:
\underline{\sim 1 = 0}\;\;\;\;\;\;\; \sim 0 = 1_{}^{}
\underline{1 \Rightarrow 1 = 1}\;\;\;\;\; 1 \Rightarrow 0 = 0
0 \Rightarrow 1 = 1\;\;\;\;\; 0 \Rightarrow 0 = 1
presentado en tablas por:


\begin{array}{c|cc}
 & \sim \\
\hline
 0 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin{array}{c|cc}
 \Rightarrow & 0 & 1 \\
\hline
 0 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & 1 \\
\end{array}

Definición de valoración[editar]

Llamaremos valoración a cualquier morfismo entre <Prop(X),\lnot , \to > y A.

Sea  v_{}^{} una valoración, entonces para cada fórmula  \xi_{}^{} podemos definir su valor recursivamente mediante las ecuaciones

 v(\lnot \varphi)=\sim v(\varphi)
 v(\varphi \to \psi)= v(\varphi) \Rightarrow v(\psi)

a partir de cada letra o fórmula atómica de  \xi_{}^{} podemos hallar  v( \xi_{}^{}) .

Ejemplo

Dada  \xi_{}^{}= \neg \varphi \to \psi y una sola valoración al azar  v( \varphi )=1 ,\; v( \psi )=0 , véase que:
 v(\xi_{}^{}) = v( \neg \varphi \to \psi ) = v( \neg \varphi ) \Rightarrow v( \psi ) = \sim v(\varphi) \Rightarrow v( \psi ) =  \sim 1 \Rightarrow 0 = 0 \Rightarrow 0 = 1.

Para acelerar el proceso de cálculo de fórmulas proposicionales se ha generalizado el uso de tablas de la verdad:

Tablas de la verdad[editar]

Bibliografía básica[editar]

Enderton, H.B., A Mathemátical introduction to Logic, Academic Press, 1972.

Hamilton, A.G., Lógica para matemáticos, Paraninfo, 1981.

Mendelson, E., Introduction to Mathematical Logic, 3ª. ed.,Wadworth an Brook/Cole, 1987, 4ª ed.,Chapman and Hall, 1997.

Pla, J., Lliçons de lógica matemática, P.P.U., 1991.

Referencias[editar]

  1. Evandro Agazzi. 3ªedición 1979, pg. 72-73.
  2. Evandro Agazzi. 3ªedición 1979, pg. 75-77.
  3. Evandro Agazzi. 3ªedición 1979, pg. 67.
  4. Evandro Agazzi. 3ªedición 1979, pg.87-90.

Bibliografía complementaria[editar]

Badesa, C., Jané, I., Jansana, R., Elementos de lógica formal, Ariel, 1998.

Barnes, D.W., Mack, J.M., Una introducción algebraica a la lógica matemática, Eunibar, 1978.

Bridge, J., Beginning Model Theory, Oxford University Press, 1977.

Ershov, Y., Paliutin. E., Lógica matemática, Mir, 1990.

Hofstadter, D., Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle, Tusquets Editores, Barcelona, 1987.

Jané, I., Álgebras de Boole y lógica, Publs. U.B., 1989.

Monk, J.D., Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1976.

Nidditch, P.H., El desarrollo de la lógica matemática. Ediciones Cátedra, 1978.

Van Dalen, D., Logic and Structure, 2nd ed., Universitext, Springer-Verlag, 1983.

Bibliografía de contexto[editar]

Evandro Agazzi, la lógica simbólica,Ed Herder, 1967.

Nino B. Cocchiarella and Max A. Freund, Modal Lógica An Introduction to Its Syntax and Semantics , Oxford 2008