Lemniscata

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Lemniscata de Bernoulli»)
Saltar a: navegación, búsqueda
Lemniscata.

En geometría analítica, sean n puntos del plano F1, F2,...,Fn y k un número real estrictamente positivo. El conjunto de los puntos del plano cuyo producto de las distancias a cada uno de los puntos F1, F2,...,Fn es constante e igual a k es una curva (lugar geométrico) llamada lemniscata de n focos.[1] Lemniscata, en griego significa cinta de lana.[2]

En matemática y en particular, la lemniscata de Bernoulli es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2) \, y tiene sólo dos focos.[3]

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a \infty, el símbolo del infinito, que es ampliamente utilizado en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, erróneamente llamado lemniscata. Su representación en Unicode es y su código es (∞).

La lemniscata fue descubierta, en 1694, por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos fijos (nombrados focos)[4] es una constante. En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".

La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola (punto medio del segmento que une los dos focos)[cita requerida].

Otras ecuaciones[editar]

La lemniscata puede ser descrita mediante coordenadas polares según la siguiente ecuación:

r^2 = a^2 \cos 2\theta\,

En coordenadas bipolares[editar]

Llámanse coordenadas bipolares del punto P de un plano, con respecto a los polos O y O', al par ordenado (r, r') que son sus sendas distancias del punto a los polos.[5]

Similarmente, en coordenadas bipolares, su ecuación es:

rr' = \frac{k^2}{2}, donde k es una constante real estrictamente positiva.

Derivadas[editar]

Cada derivada fue calculada usando Diferenciación implícita.

Con y como función de x[editar]

\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x = 0 \\
\frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)}  & \mbox{if } y \ne 0   
\end{cases}
\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x \ne 0 \\
0 & \mbox{si } y = 0 \mbox{ y } x = 0 \\
\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{si } y \ne 0  
\end{cases}

Con x como función de y[editar]

\frac{dx}{dy} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
\pm1 & \mbox{si } x = 0 \mbox{ y } y = 0 \\
\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{más }  
\end{cases}
\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}
\mbox{ilimitado} & \mbox{si } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
0 & \mbox{si } x = 0 \mbox{ y } y = 0 \\
\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{más }  
\end{cases}

Parámetro arco y funciones elípticas[editar]

La determinación del parámetro arco de la lemniscata llevó a las integrales elípticas, que fueron descubiertas durante el siglo XVIII. Alrededor de 1800, las funciones elípticas que intervienen en estas integrales fueron estudiadas por Carl Friedrich Gauss. No serían publicadas hasta mucho tiempo después, pero se hacían alusiones a ellas en las notas de su obra Disquisitiones Arithmeticae. La base del retículo definido por los pares fundamentales de períodos (pares ordenados de números complejos) tiene una forma muy especial, siendo proporcional a los enteros de Gauss. Por esta razón el conjunto de funciones elípticas con el producto complejo por la unidad imaginaria se denomina conjunto lemniscático.

Referencias y notas[editar]

  1. "Diccionario de matemáticas" (2001) Espinosa de los Monteros, Julián, Coordinador general. ISBN 84-8055-355-3, pg.168
  2. Hofmann: Historia de la matemática, Limusa. Noriega editores, México (2003) pág. 233
  3. " Geometría Analítica" (1968) Rey Pastor, Julio; Santaló, Luis; Balanzat, Manuel. Sin ISBN. pág. 195
  4. Santaló y otros: Geometría analítica
  5. "Diccionario de matemáticas" (2001) Espinosa de los Monteros, Julián, Coordinador general. ISBN 84-8055-355-3, pg.65

Véase también[editar]