Lema de Rasiowa-Sikorski

En la teoría axiomática de conjuntos, el 'lema de Rasiowa-Sikorski (nombres de Roman Sikorski y Helena Rasiowa) es uno de los hechos más importantes usados en la técnica del forzado. En el área del forzado, un subconjunto D de una notación de forzado (P, ≤) es llamado denso en P si para cualquier p ∈ P hay un d ∈ D con d ≤ p. Un filtro F en P es llamado D-genérico si

F ∩ E ≠ ∅ para todo E ∈ D.

Ahora podemos dar el lema de Rasiowa–Sikorski:

Dados (P, ≤) un poset y p ∈ P. Si D es una familia numerable de subconjuntos densos de P entonces existe un D- filtro genérico F en P tal que p ∈ F.

Prueba del lema de Rasiowa–Sikorski

Dado que D es numerable, podemos enumerar los subconjuntos densos de P como D₁, D₂, …. Por suposición, existe p ∈ P. Entonces, por la densidad, existe p₁ ≤ p con p₁ ∈ D₁. Repitiendo, tenemos … ≤ p₂ ≤ p₁ ≤ p con p_i ∈ D_i. Entonces G = { q ∈ P: ∃ i, q ≥ p_i} es un filtro D-genérico.

El lema Rasiowa-Sikorski, se puede ver como una forma más débil del axioma de Martin . Más específicamente, es equivalente a MA($\aleph _{0}$).

Ejemplos

• Para (P, ≥) = (Func(X, Y), ⊂), el poset de las funciones parciales de X a Y, define D_x = {s ∈ P: x ∈ dom(s)}. Si X es enumerable, el lema de Rasiowa–Sikorski da un filtro {D_x: x ∈ X}-genérico F y por lo tanto una función ∪ F: X → Y.

Si nos atenemos a la notación utilizada en el tratamiento de D - filtros genéricos , {H ∪ G0: P ij P t} forma una H - filtro genérico .

• Si nos atenemos a la notación utilizada en el tratamiento de filtros D-genéricos, {H ∪ G₀: P_ijP_t} forman un filtro H-genérico.
• Si D es no numerable, pero la cardinalidad es estrictamente menor que $2^{\aleph _{0}}$ y el poset cumple la condición de cadena numerable, podemos usar en cambio el axioma de Martin.

Véase también

• Filtro
• Axioma de Martin

Referencias

• Set Theory for the Working Mathematician. Ciesielski, Krzysztof. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0
• Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. ISBN 0-444-85401-0. 

• Datos: Q1816937