Lógica binaria

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La lógica binaria es la que trabaja con variables binarias y operaciones lógicas del Álgebra de Boole. Así, las variables sólo toman dos valores discretos: V (verdadero) y F (falso); aunque también se pueden denotar como y no, ó 1 y 0 respectivamente.

Es la base de los Sistemas Digitales y ello implica también, la base de la Estructura de Computadores.

Perspectiva general[editar]

Lo que comúnmente en lógica es falso o verdadero, en la lógica binaria lo vemos representado mediante dígitos utilizando exclusivamente los valores 0 y 1, números que de por sí no tienen un valor numérico de tipo Real, sino más bien de tipo discreto, es decir , 0 y 1 representan distintos estados del objeto de estudio, por ejemplo, a la hora de poder desarrollar un circuito digital.

Los circuitos digitales funcionan generalmente bajo tensiones de 5 voltios en corriente continua (por ejemplo la tecnología TTL) si bien existen excepciones como la serie CMOS, que trabaja en diferentes rangos que pueden ir desde los 4 a los 18 voltios.

Generalmente, el estado lógico 0 representa una ausencia de tensión, un nivel bajo; y el estado lógico 1 representa una existencia de tensión, un nivel alto. Mediante la combinación de estos valores es posible generar una serie de datos convertible a cualquier código utilizando la normativa aplicable en cada caso.

Principio de dualidad[editar]

Todas las expresiones booleanas permanecen válidas si se intercambian los operadores '+' y '·', y los elementos '0' y '1'.

Así para obtener una expresión algebraica dual, se intercambian los operadores "Y" y "Ó" y se reemplazan unos por ceros y viceversa

Tablas de verdad de las operaciones binarias fundamentales[editar]

Negación lógica o complemento[editar]

Es una función unaria que invierte el valor lógico de su argumento, por lo que también se llama función NOT, del inglés "no". Puede interpretarse además como restar el valor del argumento a 1, por lo que a veces se conoce como resta lógica.

Notación

Suele simbolizarse por una barra horizontal sobre su argumento (\bar{a}\;) o añadiendo un apóstrofo a continuación de él (a'\;).

Evaluación
\bar{0}=1\;
\bar{1}=0\;

Unión o suma lógicas[editar]

Es una función de varios argumentos que vale 0 sólo si todos sus argumentos valen 0. En el resto de casos vale 1. Equivale a la suma porque sólo hay dos valores posibles, 0 y 1, por lo que 1+1 sigue resultando 1.

Notación

Suele representarse como un operador binario entre sus argumentos, símbolizado por +\;, o bien OR\; (de la conjunción inglesa "o").

Evaluación
0+0=0\;\!
0+1=1\;\!
1+0=1\;\!
1+1=1\;\!

Intersección, producto o multiplicación lógicos[editar]

Es una función de varios argumentos que vale 1 sólo si todos sus argumentos valen 1. En el resto de casos vale 0. Equivale a la multiplicación.

Notación

Así como la unión lógica, suele representarse como un operador binario entre sus argumentos, símbolizado por \cdot\; o bien por AND\; (de la conjunción inglesa "y").

Evaluación
0\cdot0\;=0
0\cdot1\;=0
1\cdot0\;=0
1\cdot1\;=1

Nota: Estrictamente, entre AND y OR sólo una de las dos podría considerarse fundamental ya que ambas pueden obtenerse combinando la otra con el NOT, según las leyes de De Morgan.

Operaciones lógicas compuestas[editar]

Siguiendo el Álgebra de Boole, se pueden combinar estas operaciones empleando varias variables y obteniendo resultados más complejos. A continuación una tabla de verdad de una operación lógica compuesta.

Ejemplo: A · (B + C)


   \begin{array}{|c|c|c||c|}
      \hline
      A & B & C &  A \cdot (B + C) \\
      \hline
      1 & 1 & 1 & 1 \\
      1 & 1 & 0 & 1 \\
      1 & 0 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 1 & 0 \\
      0 & 1 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 0 \\
      \hline
   \end{array}

Axiomas[editar]

En 1854 George Boole introdujo un tratamiento sistemático de lógica y para ello desarrolló un sistema algebraico que hoy en dia conocemos como álgebra de Boole.Más tarde en 1904 Edward V. Huntington le dio una definición formal al álgebra de boole mediante los siguientes postulados.

elemento de identidad

0+A=A \,\!
1\cdot A=A

Propiedad conmutativa (el resultado no depende del orden)

A + B= B + A  \,\!
A \cdot B=B\cdot A

Propiedad asociativa (el resultado no depende de el modo de asociación)

A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C  \,\!
A \cdot (B\cdot C)=(A \cdot B) \cdot C=A \cdot B \cdot C \,\!

Propiedad distributiva (una operación se distribuye en una asociación)

A \cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C
A+(B \cdot C)=(A + B) \cdot (A + C)

Otras propiedades

  • 1+A=1 \,\!
  • 0\cdot A=0
  • A + A= A \,\!
  • A\cdot \;  A= A
  • A+ \overline{A} \;=1
  • A\cdot \;\overline{A} \;=0
  • A+(A \cdot B)=A
  • A \cdot (A + B)=A
  • A+(\overline{A} \cdot B)=A+B
  • A \cdot (\overline{A} + B)=A \cdot B

Leyes de Morgan

  • \overline{(A+B)} \;= \overline{A} \;\cdot \;\overline{B} \;
  • \overline{(A\cdot \;B)} \;= \overline{A} \;+\overline{B} \;

Operadores no fundamentales XOR, XNOR e IMPLIES

Los operadores no fundamentales pueden expresarse a partir de los operadores fundamentales

  • XOR:
A \oplus  B= \overline{A} \;\cdot \;B +\overline{B} \;\cdot \;A
0\oplus 0=0 \,\!
0\oplus1=1 \,\!
1\oplus0=1 \,\!
1\oplus 1=0 \,\!

XOR se conoce como OR exclusiva

  • XNOR:
A \odot B=A \cdot \; B +\overline{B} \; \cdot \; \overline{A} \;
0\odot0=1 \,\!
0\odot1=0 \,\!
1\odot0=0 \,\!
1\odot1=1 \,\!

XNOR equivale a «si y sólo si».

  • IMPLIES:
A \rightarrow \; B = \overline{A} \; + B \,\!
0\rightarrow \;0=1 \,\!
0\rightarrow \;1=1 \,\!
1\rightarrow \;0=0 \,\!
1\rightarrow \;1=1 \,\!

IMPLIES equivale a «si ... entonces ...».

Véase también[editar]