Límite (sucesión de conjuntos)

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En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntos (A_n)_n al conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntos A_n componentes de la sucesión. Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.[1] [2]

Definición para sucesiones monótonas[editar]

Sea (A_n)_n una sucesión de conjuntos, se dice que dicha sucesión es monótona creciente, y se indica como A_n\uparrow, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que A_n \subseteq A_{n+1}.[3]

De la misma manera, la sucesión de conjuntos es monónota decreciente y se indica como A_n\downarrow, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que A_n \supseteq A_{n+1}.[3]

Haciendo uso de operadores de conjuntos (unión, intersección), en una sucesión monótona creciente con un número fijado n se tiene que:

\bigcup_{i=1}^nA_i=A_n

El límite de esta sucesión creciente se define de manera natural como:[2]

\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^n A_i=\bigcup_{i=1}^\infty A_i

es decir, como la unión de los infinitos conjuntos An de la sucesión. Una definición similar se sigue para una sucesión monótona decreciente. Fijado un n se tiene que:

\bigcap_{i=1}^nA_i=A_n

Y por tanto, el límite de esta sucesión decreciente se define como:[2]

\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^n A_i=\bigcap_{i=1}^\infty A_i

esto es, como la intersección de los conjuntos An de la sucesión.

Cuando se cumplen estas condiciones, se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite o que es convergente.[3]

Sucesiones generales. Límites inferior y superior[editar]

De manera más general y dada cualquier sucesión de de conjuntos, pueden definirse los límites inferior y superior construyendo dos sucesiones monótonas creciente y decreciente respectivamente:[1]

Sea una sucesión de conjuntos (An)n.

  • El límite inferior es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de la sucesión salvo quizás un número finito de ellos:

\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)

  • El límite superior es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a infinitos conjuntos en la sucesión:

\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right)

De las definiciones anteriores se puede obtener la relación:

\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n

En el caso de que ambos límites coincidan, se toma este conjunto común como el límite de la sucesión An:

\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Quesada Paloma, Vicente; García Pérez, Alfonso (1998). «Sucesiones de conjuntos». Lecciones de cálculo de probabilidades (en castellano) (1ª edición). Madrid: Ediciones Díaz de Santos. pp. 6–11. ISBN 8486251842. 
  2. a b c Bărboianu, Cătălin; Martilotti, Rafael (2008). «Sucesiones de conjuntos». Entendiendo las probabilidades y calculándolas (en castellano) (1ª edición). INFAROM Publishing. pp. 130–131. ISBN 9731991069. 
  3. a b c Navarro Camacho, Jorge; Gómez Gómez, Jesús; García Gómez, Flugencio; Pina Coronado, Emilio M. (2003). «Sucesiones de conjuntos». Matematicas. Profesores de Enseñanza Secundaria. Volumen III (en castellano) (1ª edición). Sevilla: MAD. pp. 262–263. ISBN 8466518991. 

Enlaces externos[editar]