Isospín

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En física, y específicamente, en la física de partículas, el isospín (espín isotópico o espín isobárico) es un número cuántico relacionado a la interacción fuerte y aplicado a las interacciones del neutrón y el protón. Este término se deriva de espín isotópico, pero éste término se confunde con dos isótopos de núcleos que tengan diferentes cantidades de nucleones, mientras la rotación del isospín mantiene el número de nucleones. Los físicos nucleares prefieren llamarlo espín isobárico, que es más preciso en su significado. La simetría del isospín es un subconjunto de la simetría del sabor que se ve en forma más amplia en las interacciones de bariones y mesones. La simetría de isospín conserva un concepto importante en la física de partículas y una cerrada examinación de esta simetría históricamente lleva directamente al descubrimiento y entendimiento de los quarks y la teoría de Yang-Mills.

Simetría[editar]

El isospín fue introducido por Werner Heisenberg para explicar muchas simetrías relacionadas:

  • La masa de los neutrones y de los protones es casi idéntica: son casi degenerados y se los llama nucleones. Aunque el protón tiene carga positiva y el neutrón es neutro, son casi idénticos en todos los otros aspectos.
  • La fuerza de la interacción fuerte entre cualquier par de nucleones es la misma, independiente de si interactúan como protones o como neutrones.
  • La masa de un pion que media entre la interacción fuerte y los nucleones es la misma. En particular, la masa de un pion positivo (y su antipartícula) es cercamente idéntica a la de un pion neutro.

En mecánica cuántica, cuando un hamiltoniano tiene una simetría, esta simetría se manifiesta en si misma a través de un conjunto de estados que tienen (casi) la misma energía; esto es, los estados son degenerado. En la física de partículas, la masa es sinónimo de energía (desde que se conoce que E = mc²) y así la masa degenerada del neutrón y el protón en una simetría hamiltoniana describe la interacción fuerte. El neutrón tiene la masa ligeramente superior: la masa degenerada no es exacta. El protón está cargado, el neutrón no. Sin embargo, en este caso se podría en general por mecánica cuántica, la apariencia de la simetría puede ser imperfecta, como si fuera una perturbación de otras fuerzas. que dan lugar a ligeras diferencias entre estados.

SU(2)[editar]

La contribución de Heisenberg fue al señalar que la formulación matemática de esta simetría es en algunos aspectos similar a la formulación matemática del espín, de donde se deriva su nombre "isospín". Para ser preciso, la simetría isospín está dada por la invarianza del hamiltoniano de las interacciones fuertes bajo la acción de un grupo de Lie SU(2). El neutrón y el protón están asignados a un doblete (el espín-1/2 o una representación fundamental) de SU(2). Los piones son asignados a un triplete (el espín-1 o representación adjunta) de SU(2).

Solo si es el caso de un espín regular, el isospín está descrito por dos números, I, el isospín total y I3 el componente del espin de vector en la dirección dada. El protón y el neutrón tienen ambos I=1/2, cuando ellos permanecen en el doblete. El protón tiene I3=+1/2 o ísospín-arriba' y el neutrón tiene I3=-1/2 o 'isospín-abajo'. Los piones, que permanecen en el triplete, tienen I=1 y π+, π0 y π tienen, respectivamente I3=+1, 0, −1.

Relación con el sabor[editar]

El descubrimiento y el subsecuente análisis de partículas adicionales, ambos mesones y bariones, deja en claro que el concepto de simetría isospín puede ser ampliado para un par de grupos grandes de simetría, ahora llamado simetría de sabor. Una vez que el kaón y su propiedad de extrañeza fueron mejor entendidas, comenzó a aclararse esto, también, pareciendo ser parte de una ampliación, más simetrías generales que contenían al isospín como un subconjunto. La más grande simetría fue nombrada como ocho maneras por Murray Gell-Mann, y fue prontamente reconocida para corresponder a la representación adjunta de SU(3). Esto inmediatamente llevo a la propuesta de Gell-Mann de la existencia de quarks. Los quarks podrían pertenecer a la representación fundamental de la simetría del sabor SU(3) y esto es de un representante fundamental, éstos conjugados (quarks y antiquarks) con los de mayor representación (mesones y bariones) podrían ser ensamblados. En corto, la teoría de grupos de Lie y la álgebra de Lie modelaron la realidad física de partículas en las más excepcional e inesperada manera.

El descubrimiento de los mesones J/ψ y encantado condujo a la expansión de la simetría del sabor a SU(4) y el descubrimiento del mesón upsilon (y de los correspondientes quarks cima y fondo) llevó a la actual simetría del sabor SU(6). La simetría de isospín es solo un pequeño rincón de ésta simetría mayor. Hay razones teóricas fuertes, confirmadas por experimentos, que llevan a creer que las cosas paran ahí y que no hay posibilidad de que nuevos quarks sean encontrados.

Simetría isospín de quarks[editar]

En el marco del modelo estándar, la simetría isospín de un protón y un neutrón son reinterpretadas como la simetría isospín de un quark arriba y un quark abajo. Técnicamente, el estado doblete del nucleón está como una combinación lineal del producto de tres partículas isospín de doble estado y espín de doble estado. Esto es, la función de onda del protón (spin-arriba), en términos de los estados propios quark-sabor, está descrito por

\vert p\uparrow \rangle = \frac 1{3\sqrt 2}\left(\begin{array}{ccc} \vert duu\rangle & \vert udu\rangle & \vert uud\rangle \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \vert\downarrow\uparrow\uparrow\rangle\\ \vert\uparrow\downarrow\uparrow\rangle\\ \vert\uparrow\uparrow\downarrow\rangle \end{array}\right)

Y el neutrón (espín-arriba) por

\vert n\uparrow \rangle = \frac 1{3\sqrt 2}\left(\begin{array}{ccc} \vert udd\rangle & \vert dud\rangle & \vert ddu\rangle \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \vert\downarrow\uparrow\uparrow\rangle\\ \vert\uparrow\downarrow\uparrow\rangle\\ \vert\uparrow\uparrow\downarrow\rangle \end{array}\right)

Aquí, \vert u \rangle es el estado propio de sabor del quark arriba y \vert d \rangle es el estado propio de sabor del quark abajo, mientras que \vert\uparrow\rangle y \vert\downarrow\rangle son los estados propios de S_z. A pesar de lo anterior la manera técnicamente correcta de denotar al protón y neutrón en términos del sabor de quarks y estados propios de espín, esto casi siempre se pasa por alto y se son simplemente referidas como uud y udd.

Similarmente, la simetría isospín de los piones son dados por:

\vert \pi^+\rangle = \vert u\overline {d}\rangle
\vert \pi^0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}
\left(\vert u\overline {u}\rangle - \vert d \overline{d} \rangle \right)
\vert \pi^-\rangle = -\vert d\overline {u}\rangle

La línea sobre las letras denota, como es usual, la representación del complejo conjugado de SU(2) o equivalentemente el antiquark.

Isospín débil[editar]

Los quarks también sienten la interacción débil; sin embargo, los estados propios de masa de las interacciones fuertes no son exactamente los mismos de la interacción débil. Entonces, mientras haya un par de quarks u y d que toman parte en la interacción débil, que no son los mismo que los quarks fuertes u y d. La diferencia es dada por la rotación, esas magnitudes son llamadas el ángulo de Cabibbo o más generalmente la matriz CKM.

Teoría de Yang-Mills[editar]

Hace casi 50 años, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la Geometría y las ecuaciones de la física de partículas que luego resultaron de gran utilidad para unificar tres de las interacciones fundamentales de la materia en una sola teoría. A pesar de ello, nadie ha demostrado que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica. Demostrar que las ecuaciones de Yang-Mills tienen soluciones compatibles con la mecánica cuántica es uno de los siete enigmas matemáticos pendientes de resolver. Una cuestión compleja.

Jugar muchas partidas de ajedrez no te hace más inteligente, simplemente te entrena para jugar al ajedrez.

Escribir cada día algo en un blog no te ayuda a hacerlo mejor ni, por supuesto, te convierte en escritor, simplemente te entretiene.

Estar rodeado de personas, incluso relacionarte con ellas, no te hace sentirte acompañado, es posible que además, en muchos casos, acreciente tu sensación de soledad.

Aunque digas claramente amor, incluso deletreándolo, no significa que quién lo escucha no entienda roma, mora, ramo, omar (Sharif), armo, arom(a), (h)orma, etc. Es así y no hay nada que hacer.

Hacerte viejo no significa hacerte sabio, es más, a veces significa saber menos, encerrarte en un círculo del que no sales, das vueltas y vueltas como un burro en una noria, siempre con el mismo paisaje, con las mismas vacas viéndote pasar. Una esperanza, hay excepciones.

Saber sumar, haberlo aprendido cuando eras niño, no elimina la posibilidad de que, de pronto, uno más uno sean tres, que los dedos de una mano sean suficientes para contar las personas que amas (lo malo es cuando, además, te sobran cinco dedos) o que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica.

Por si no ha quedado claro, insisto:

Existencia y "mass gap" en la Teoría de Yang-Mills.

Este es un problema para los físicos; o de los físicos. Lo que se pide es un modelo matemático que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o "Teoría gauge no-abeliana".

En física se reconocen cuatro tipos fundamentales de interacciones entre partículas, que gobiernan todos los procesos conocidos. La fuerza gravitatoria, la fuerza electromagnética y los dos tipos de fuerzas nucleares, "fuertes" y "débiles". La fuerza gravitatoria no tiene efectos apreciables en el mundo atómico y además es conceptualmente difícil de compatibilizar con los postulados de la mecánica cuántica. Por tanto se excluye de manera explícita en el llamado "modelo estándar" de la física de partículas.

Las ecuaciones de Yang y Mills, introducidas en 1954, son en pocas palabras una generalización no conmutativa de la electrodinámica cuántica (QED), la cual a su vez es la versión cuantizada de la teoría electromagnética clásica de Maxwell. La QED es la teoría que modeliza las interacciones electromagnéticas en el contexto cuántico, y ya estaba ampliamente asentada y aceptada en los años 50. Esencialmente, las ecuaciones de Yang-Mills se reducen a la QED cuando las partículas portadoras del campo no tienen masa (como es el caso de los fotones, portadores de la energía elcetromagnética) y difieren de la QED sólo cuando los portadores tienen masa (como es el caso de los bosones W y Z, unas 100 veces más pesados que protones y neutrones, y portadores de las fuerzas nucleares débiles). En este sentido, la teoría de Yang-mills es una pieza clave en la unificación de la QED con la teoría de las interacciones débiles: la llamada teoría electrodébil formulada en 1968, que valió el premio Nobel de Física de 1979 a sus creadores, Sheldon Glashow, Abdul Salam y Steven Weinberg. Hay que aclarar que la existencia de los bosones W y Z y el valor de su masa no fueron explicados sino predichos por la teoría electrodébil, y no detectados experimentalmente hasta los años 80. Uno de los problemas más importantes en física de partículas es encontrar una teoría que unifique de manera satisfactoria la teoría electrodébil y la "cromo-dinámica cuántica" que regula las interacciones fuertes.

El reto que plantea el Instituto Clay puede tener relación con esta futura teoría unificada, aunque se plantea como un problema puramente matemático. Explicado de manera imprecisa, se pide "avanzar en el conocimiento matemático de la Teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro". En términos más precisos, se pide demostrar que para todo grupo simple compacto G, hay una Teoría de Yang-Mills en R4 que tiene a ese grupo como grupo gauge y que además, esa teoría tiene una "brecha de masa" (mass gap). La brecha de masa significa que no puede haber excitaciones con energía arbitrariamente pequeña sino que hay un valor mínimo D >0 para las mismas. Es una propiedad fundamental en el contexto físico. Explica, por ejemplo, por qué las interacciones fuertes, aún siendo las más fuertes de la naturaleza, son las de más corto alcance.

Yang-Mills Theory[editar]

Chen Ning Yang was aware that in the general theory of relativity the notion of a direction was not globally well defined. If a gyroscope is spinning very fast so that it is always pointing in a certain direction, and then it is slowly moved around a large loop in space, it comes back in a different orientation when in returns to its starting position. This is a fundamental propery of space-time, the curvature, and it determines the form of the gravitational interaction. In 1954, Yang and Mills suggested that the notion of proton and neutron, which isospin symmetry continuously rotates into each other, also changes under transport around closed loops. The idea was that a proton moving along a closed loop would come back a certain amount neutron. To describe this, a notion of proton and neutron direction in isospin space must be defined at each point, a local basis for isospin. In terms of this basis, (B_p(x),B_n(x)) are the probability amplitudes that a particle at x whose trajectory we are following is a proton or a neutron. The basis is arbitrary, so it should be possible to change basis at every point independently. An x-dependent change of basis multiplies the amplitudes (B_p(x), B_n(x)) by an x-dependent SU(2) matrix.


B' = U(x) B
\,

A fundamental condition in the Yang Mills theory is that redefining the proton and neutron by an arbitrary isospin matrix at every different position should be possible. This condition is called gauge invariance, an idea introduced by Hermann Weyl to describe electromagnetism in the language of General Relativity. In any basis, moving in a direction V should mix up the B's by an infinitesimal unitary matrix, which is the identity plus an amount linearly proportional to the direction components.


\delta  B = i A_k V^k
\,

The quantity  i A_k is an infinitesimal isospin generator, which means that it is antihermitian. Because hermitian matrices are more familiar to physicists, the physics literature introduces the factor of i, to make A hermitian. The change in proton/neutron character of a particle that is transported along a closed loop is given by the product over each infinitesimal element of the quantity (1+ i A_k dx^k ) in order, which when the dx are infinitesimal can be rewritten as an exponential:


W = \prod (1 + iA_k dx^k) =  \mathrm{Pexp}( \int i A_k dx^k )
\,

Where a path ordered exponential, the quantity on the right hand side, is really defined by this expression. The total change when a particle is returned to the starting point is known as the wilson loop in physics and the holonomy in mathematics.

When the basis is rotated, the quantities A are different, because the transport from one point to another depends on the basis for the two points. The change in the A matrix comes from two independent effect. First is just the change which would happen under a global isospin rotation:


A\rightarrow g^{-1}A g
\,

The second is peculiar to gauge theory, and is a generalization of the usual gauge trasformations of electrodynamics. Since A rotates a particle traveling from a point to a nearby point, if the g matrix varies between the two points, this variation changes the A by an amount proportional to the derivative.


A\rightarrow  g^{-1} A g + g^{-1} \partial_k g
\,

The generalization of the electric and magnetic field tensor of electromagnetism F_{\mu\nu} = \partial_\nu A_\mu - \partial_\mu A_\nu can be found by considering the wilson loop around an infinitesimal closed curve starting at x the traveling in a little square in the dx^\mu, dx^\nu directions. Since this loop starts and ends at the same point, it does not care about the basis at any other point. For an infinitesimal curve:


W = I - dx^{\mu} dx^\nu ( \partial_\nu A_\mu - \partial_\mu A_\nu + i [A_\mu A_\nu] ) = I - dx^\mu dx^\nu F_{\mu\nu}
\,

and, up to a scaling factor which determines the scale of A, which is also the amount by which A rotates a proton and so is the strength of the coupling, the Lagrangian for Yang Mills theory is the usual lagrangian for electrodynamics with the nonabelian F:


 S = \int {1\over 4g^2} \mathrm{tr}(F^{\mu\nu} F_{\mu\nu})
\,

The theory describes interacting vector bosons, like the photon of electromagnetism. Unlike the photon, there are tree level interactions which describe the scattering of the vector bosons with each other. The condition of gauge invariance suggests that they have zero mass, just as in electromagnetism.

Ignoring the massless problem, as Yang and Mills did, the theory makes a firm prediction. If a vector particle is a Yang Mills field for the isospin symmetry, it would couple to all strongly interacting particles universally. The coupling to the proton/neutron would be the same as the coupling to the kaons. The coupling to the pions would be the same as the self-coupling of the vector bosons to themselves.

When Yang and Mills proposed the theory, there was no candidate vector boson to identify with the field A. J. J. Sakurai in 1960 predicted that there should be a massive vector boson which is coupled to isospin, and predicted that it would show universal couplings, it would interact with the proton and the neutron the same as it does with the kaons. The rho mesons were discovered a short time later, and were quickly identified as Sakurai's vector bosons. The couplings of the rho to the nucleons and to each other were verified to be correctly described by a gauge theory, as best as experiment could measure. The fact that the diagonal isospin current contains part of the electromagnetic current led to the prediction of rho-photon mixing and vector meson dominance, ideas which led to successful theoretical pictures of GeV scale photon-nucleus scattering.

After the discovery of the standard model, much of these successes were forgotten. In the standard model, the proton and neutron are composite, and the quarks are the particles which transform into each other under isospin. The only truly fundamental gauge symmetry of the quarks mixes the left-handed up and down quarks with each other, but not the right handed quarks. This symmetry is the fundamental SU(2)_L weak isospin, which is not the same as isospin since it only acts on half of the field. The gauge theory of the gluons is fundamental too, as is the electric field. But because the up and down quark masses are neither infinitesimal nor exactly the same, isospin is not even an exact global symmetry, let alone a gauge symmetry.

Nevertheless, a minority of researchers developed the idea further. The lightest axial vector meson  A_1 (1200 MeV) was suggested to be the gauge boson for the axial vector current, the conserved current associated with chiral quark symmetry. This symmetry is spontaneously broken by the quark chiral condensate. Other researchers in the 1980s suggested that the regge trajectory of vector mesons corresponding to the rhos and the A's are a tower of higher effective gauge symmetries of the strong interactions, somehow related to one another. This was the idea of hidden local symmetry.

These ideas, long marginalized, were fully vindicated in recent years by work in string theory. An effective string description of confining gauge theories was constructed and this string description not only explains why the rho should interact as a vector meson, but also why the rho comes with a scalar partner which gives it mass by the Higgs mechanism. It further explained the occurrence of the tower of hidden local symmetries, and predicts that all the tower interacts with gauge-like interactions. These ideas are the subject of active ongoing research.-->

Referencias[editar]

  • Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory (1980) McGraw-Hill Inc. New York. ISBN 0-07-032071-3
  • David Griffiths, Introduction to Elementary Particles (1987) John Wiley & Sons Inc. New York. ISBN 0-471-60386-4