Integral senoidal

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La función Si(x)

La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):

\mbox{Si}(x) = \int_0^x \mbox{sinc}(t)\,dt = \int_0^x \frac{\sin(t)}{t}\,dt

Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie:

\mbox{Si}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \frac{x^7}{7\cdot 7!} + \dots


Propiedades[editar]

Algunas propiedades de la integral senoidal son:

  • Al ser la integral de una función par, es una función impar, esto es, Si(-x) = -Si(x).
  • El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite:

\lim_{x\rightarrow\infty} \mbox{Si}(x) = \int_0^{\infty} \frac{\sin(t)}{t}\,dt = \frac{\pi}{2}

  • Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es -\frac{\pi}{2}.


Funciones asociadas[editar]

Seno Integral[editar]

Gráfico de Si(x) para 0 ≤ x ≤ 8π.

Las diferentes definiciones son:

{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt
{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

{\rm Si}(x) es la primitiva de \sin x/x que es cero para x=0; {\rm si}(x) es la primitiva de \sin x/x que es cero para x=\infty.

Se debe distinguir que \frac{\sin t}{t} es la Función sinc y también la de orden cero de la función esférica de Bessel: j_n, y_n.

Cuando x=\infty, se conoce como la Integral de Dirichlet.

Se define la función integral senoidal complementaria como:

\mbox{si}(x) = \frac{\pi}{2} - \mbox{Si}(x) = \int_x^{\infty} \frac{\sin(t)}{t}\,dt

Coseno Integral[editar]

Gráfico de Ci(x) para 0 < x ≤ 8π.

Se define la función integral cosenoidal como:

\mbox{ci}(x) = \int_x^{\infty} \frac{\cos(t)}{t}\,dt

Las diferentes definiciones son:

{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt
{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt
{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt

{\rm ci}(x) es la primitiva de \cos x/x que es cero para x=\infty. Se tiene:

{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

Referencias[editar]

  • Kreyszig, Erwin, Matemáticas avanzadas para ingeniería.

Véase también[editar]