Grupo de Klein

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En teoría de grupos, el grupo de Klein, grupo de cuatro de Klein o Vierergruppe , llamado así en honor al matemático alemán Felix Klein, es el grupo formado por cuatro elementos, donde cada elemento es inverso de sí mismo. Formalmente, es el grupo Z2 × Z2, producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden 2. Se denota generalmente con la letra V.

Diversos casos del grupo[editar]

El grupo se puede ver de varias formas. La más general y las más conocida posiblemente, es de la siguiente forma:

G = {e, a, b, ab}, donde e es la identidad, a y b otros dos elementos que al multiplicarlos generan el cuarto. De acuerdo con la estructura del grupo, a = a-1, b = b-1 y ab = (ab)-1, donde a-1, b-1 y (ab)-1 son los inversos de a, b y (ab) respectivamente. Se tiene entonces que:

ab =(ab)-1 = b-1a-1 = ba. De esta manera, el conjunto es cerrado bajo la operación producto, además que el producto definido así es asociativo, obteniéndose así un grupo.

Otra forma de ver el grupo es como A4, el subgrupo alternante de S4 que contiene las permutaciones pares consistentes en dos transposiciones ajenas. Es decir:

A4 = {id, (12)(34),(13)(24),(14)(23)}, es fácil ver que esto es un grupo y más aún, haciendo:

a = (12)(34), b = (13)(24), es fácil ver que ab = [(12)(34)][(13)(24)] es en efecto: (14)(23). Se ve con un simple chequeo que:

a = a-1, b = b-1 y ab = (ab)-1, con a y b definidas de esta forma.

Finalmente, podemos decir que algunos textos prefieren definir el grupo de Klein como la suma directa de Z2 consigo mismo (Z2Z2), donde Z2 es {0,1}, es decir el grupo cociente Z/2Z, formado solo por dos clases de equivalencia.

De lo anterior se deduce que los tres grupos mostrados en los ejemplos son isomorfos.

Subgrupo de un grupo de permutaciones[editar]

Se considera el grupo S de permutaciones de A= {1,2,3,4} que tiene 24 elementos. Sean los elementos σ de S que sean involutivos, i.e. que su cuadrado sea I . Hay tres de ellos y el elemento identidad I, forman el «grupo V de Klein».[1] «V» deriva del vocablo alemán Vierergruppe («grupo de cuatro»).

No cíclico[editar]

  • Hay grupos cíclicos de orden 4, por ejemplo el grupo multiplicativo G = {1,-1,i, -i} o el grupo multiplicativo de los coprimos con 10, G = {1,3,7,9} son cíclicos. Sin embargo el grupo aditivo de orden 4, no lo es:

Z(2)×Z(2)={0;0), (0;1), (1;0) (1;1)}, se suman los respectivos componentes (0;1) + (1;1) = (1;0), fácilmente se ve que (a;b)² = (a;b) + (a;b)= (0;0) = elemento neutro, para cualquier otro elemento.Véase (1).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Dubreil, Paul: Teoría de grupos,(1975) Editorial Reverté, S.A. Barcelona

Bibliografía[editar]

  • Gonçalves, Adilson (1979). Introdução ã álgebra. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada. ISBN 978-85-244-0108-4. 
  • Alexandroff, P. S. (1965). Introducción a la teoría de los grupos. Cuadernos de Eudeba 132 (2ª edición). Buenos Aires: Eudeba. pp. 14,15,18. 
  • Fraleigh, John B. (1987). Álgebra abstracta. Addison-Wesley Iberoamericana. ISBN 978-02-016-4052-6. 

Enlaces externos[editar]