Función zeta de Lerch

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En matemáticas, la función zeta de Lerch, a veces llamada función zeta de Hurwitz-Lerch, es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo. Ha sido designada en honor a Mathias Lerch [1].

Definición[editar]

La función zeta de Lerch está expresada mediante

L(\lambda, \alpha, s) = \sum_{n=0}^\infty
\frac { \exp (2\pi i\lambda n)} {(n+\alpha)^s}.

La función trascendente de Lerch, que se encuentra relacionada con la zeta de Lerch es la definida de la siguiente forma:

\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty
\frac { z^n} {(n+\alpha)^s}.

Las dos se encuentran relacionadas mediante la expresión

\,\Phi(\exp (2\pi i\lambda), s,\alpha)=L(\lambda, \alpha,s).

Representaciones integrales[editar]

Una representación integral está dada por la expresión


\Phi(z,s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}
\frac{t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}\,dt

para

\Re(a)>0\wedge\Re(s)>0\wedge z<1\vee\Re(a)>0\wedge\Re(s)>1\wedge z=1.

Una representación tipo integral de contorno es


\Phi(z,s,a)=-\frac{\Gamma(1-s)}{2\pi i}\int_{0}^{(+\infty)}
\frac{(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}\,dt

para

\Re(a)>0\wedge\Re(s)<0\wedge z<1

donde el contorno no debe abarcar ningún punto tal que t=\log(z)+2k\pi i,k\in Z.

Una representación integral tipo Hermite es


\Phi(z,s,a)=
\frac{1}{2a^s}+
\int_{0}^{\infty}\frac{z^{t}}{(a+t)^{s}}\,dt+
\frac{2}{a^{s-1}}
\int_{0}^{\infty}
\frac{\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^2)^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}\,dt

para

\Re(a)>0\wedge |z|<1

y


\Phi(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+
\frac{\log^{s-1}(1/z)}{z^a}\Gamma(1-s,a\log(1/z))+
\frac{2}{a^{s-1}}
\int_{0}^{\infty}
\frac{\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^2)^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}\,dt

para

\Re(a)>0.

Referencias[editar]

  • Lerch, Mathias (1903), «Démonstration élémentaire de la formule: \scriptstyle\frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}», L'Enseignement Mathématique 5: 450–453 .
  • Jackson, M. (1950), «On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series \scriptstyle_2\psi_2», J. London Math. Soc. 25 (3): 189–196, doi:10.1112/jlms/s1-25.3.189, MR 0036882 .
  • Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953), Higher Transcendental Functions, New York: McGraw-Hill .
  • Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent», The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270, doi:10.1007/s11139-007-9102-0, arΧiv:math.NT/0506319, MR 2429900 . Includes various basic identities in the introduction.
  • Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, MR 1979048, ISBN 9781402010149 .

Enlaces externos[editar]