Función zeta de Igusa

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En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, p2, p3, y así sucesivamente

Definición[editar]

Para un número primo p sea K un cuerpo p-ádico, es decir  [K: \mathbb{Q}_p]<\infty , R el anillo de valuación y P el ideal máximo. Para z \in K \operatorname{ord}(z) expresa la valuación de z, \mid z \mid = q^{-\operatorname{ord}(z)}, y ac(z)=z \pi^{-\operatorname{ord}(z)} para un parámetro uniformizante \pi de R.

Sea \phi : K^n \mapsto \mathbb{C} una función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y sea \chi un carácter de K*.

En este caso se asocia un polinomio no constante f(x_1, \ldots, x_n) \in K[x_1,\ldots,x_n] a la función zeta de Igusa

 Z_\phi(s,\chi) = \int_{K^n} \phi(x_1,\ldots,x_n) \chi(ac(f(x_1,\ldots,x_n))) |f(x_1,\ldots,x_n)|^s \, dx

donde s \in \mathbb{C}, \operatorname{Re}(s)>0, y dx es una medida de Haar normalizada de forma tal que R^n posee una medida unitaria.

Teorema de Igusa[editar]

Junichi Igusa demostró que Z_\phi (s,\chi) es una función racional en t=q^{-s}. La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades. Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a formulas explícitas. (Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)

Congruencias módulo potencias de P[editar]

Por tanto, sea \phi la función característica de R^n y \chi el carácter trivial. Denótese por N_i el número de soluciones de la congruencia

f(x_1,\ldots,x_n) \equiv 0 \mod P^i.

Entonces, la función zeta de Igusa

Z(t)= \int_{R^n} |f(x_1,\ldots,x_n)|^s \, dx

está relacionada con la serie de Poincaré

P(t)= \sum_{i=0}^{\infty} q^{-in}N_i t^i

por

P(t)= \frac{1-t Z(t)}{1-t}.

Referencias[editar]