Función de von Mangoldt

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En matemática, la Función de Von Mangoldt es una función aritmética, muy importante en teoría de números, que debe su nombre al matemático alemán Hans von Mangoldt.

Definición[editar]

La función de von Mangoldt, normalmente escrita como Λ(n), está definida de la siguiente manera:

\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \mbox{si }n=p^k \mbox{ para algun primo } p \mbox{ y entero } k \ge 1, \\ 0 & \mbox{en cualquier otro caso.} \end{cases}

Esta función es un ejemplo importante de función aritmética que no es ni multiplicativa ni aditiva.

La función de von Mangoldt cumple la siguiente identidad:[1]

\log n  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,

que es, la suma de todos los enteros d que dividen a n. Esto se puede demostrar mediante el teorema fundamental de la aritmética, Puesto que los términos que no son potencias de números primos son igual a 0.

La función de Chebyshov, o función sumatorio de von Mangoldt , ψ(x), está definida en términos de la función de von Mangoldt como:

\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).

von Mangoldt dio una demostración rigurosa de una fórmula explícita para ψ(x), utilizando una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.[2] Este fue un importante paso para la primera prueba del teorema de los números primos.

Ejemplo[editar]

Para el ejemplo, sea n=12.

  • Se obtieme la descomposición en factores primos de 12, 12=22·3, necesaria para el ejemplo.
  • Tomando la suma de todos los divisores d posibles de n:
\sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d) = \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12)
= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(2^2) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda(2^2 \times 3)
= 0 + \log 2 + \log 3 + \log 2 + 0 + 0 \,\!
=\log (2 \times 3 \times 2) = \log 12. \,\!
con lo que se muestra que la suma sobre la función de von Mangoldt es igual a log (n).

Relaciones[editar]

Series de Dirichlet[editar]

La función de von Mangoldt juega un importante rol en la teoría de series de Dirichlet, sobre todo, con la función zeta de Riemann. En particular, se muestra que

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

para \Re(s) > 1. La derivada logarítmica es entonces:

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

Éstos son casos especiales de una más general relación con las series de Dirichlet.[1] Si uno define una función como:

F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

para una función completamente multiplicativa f(n), y la serie converge para todo \Re(s) > \sigma_0, entonces

\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

y converge para \Re(s) > \sigma_0.

Transformada de Mellin[editar]

La transformada de Mellin de la función de Chebyshov puede ser obtenida aplicando la fórmula de Perron:

\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx

la cual se cumple para \Re(s)>1.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. 
  2. Stopple, Jeffrey (2008). «Riemann's explicit formula & music of the primes.». Consultado el 17 de mayo de 2010.

Enlaces externos[editar]