Función de Euler

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Módulo de phi en el plano complejo, coloreado de tal manera que negro=0, rojo=4.

En matemática, la función de Euler está dada por

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k).

Llamada así en honor a Leonhard Euler, es el ejemplo prototipo de q-series, una forma modular, y es uno de los primeros ejemplos de relación entre combinatoria y análisis complejo.

Propiedades[editar]

Los coeficientes p(k) en la serie de Maclaurin para 1/Φ(q) da el número de todas las particiones de k. Esto es,

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k

donde p(k) es la función de partición de k.

El teorema del número pentagonal, descubierto también por Leonhard Euler, está relacionado con la función de Euler de la siguiente manera:

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.

Nótese que (3n2-n)/2 es un número pentagonal.

La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind, mediante la identidad descubierta por Ramanujan:

\phi(q)= q^{-1/24} \eta(\tau) \,\!

donde q=e^{2\pi i\tau} \,.

Nótese que ambas funciones tienen la simetría del grupo modular.

Referencias[editar]

  • Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9.