Función beta de Dirichlet

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En matemática, la función beta de Dirichlet (también conocida como la función beta de Catalan) es una función especial, íntimamente relacionada con la función zeta de Riemann. En particular, es una función L de Dirichlet, concretamente la función L para el character alternado de periodo cuatro.

Definición[editar]

La función beta de Dirichlet se define como

\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s},

o, equivalentemente,

\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx.

En ambos casos, se asume que Re(s) > 0.

Alternativamente, la siguiente definición, en términos de la función zeta de Hurwitz, es válida íntegramente para todo el plano complejo:

\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta\left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta\left( s, {3 \over 4}\right) \right).

Otra difinición equivalente, en términos de la función zeta de Lerch, es:

\beta(s) = 2^{-s} \Phi\left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),

la cual es también valida para todo valor complejo 's.

Ecuación funcional[editar]

La ecuación funcional prolonga analalíticamente la función beta a la parte del plano complejo Re(s)<0; ésta viene dada por:

\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) 
\cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s)

donde Γ(s) es la función gamma.

Valores especiales[editar]

Algunos valores especiales, entre los que se incluyen:

\beta(0)= \frac{1}{2},
\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},
\beta(2)\;=\;G,

donde G representa la constante de Catalan, y

\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32},
\beta(4)\;=\;\frac{1}{768}(\psi_3(\frac{1}{4})-8\pi^4),
\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536},
\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320},

donde \psi_3(1/4), escrito arriba, es un ejemplo de función poligamma. Más generalmente, para cada entero positivo k:

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}},

donde  \!\ E_{n} representa los números de Euler. Para enteros k ≥ 0, está se puede escribir como:

\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.

Dado que E_{2k+1}=0 con k ≥ 0, la función se anula para todo número entero negativo impar del argumento.

Véase también[editar]

Referencias[editar]