Función Xi de Riemann

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Función xi de Riemann  \xi(s) en el plano complejo. El color de un punto  s codifica el valor de la función. Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.

Definición[editar]

La función xi (minúscula) de Riemann es definida como:


\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s).

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para esta la función xi es

\xi(1-s)=\xi(s).\,

The función Xi (mayúscula) está definica como


\Xi(s) = \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s)

y también obedece a la misma ecuación funcional.

Valores[editar]

La fórmula general para enteros pares es

\xi(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)!} \over {(2n)!}}.

Por ejemplo:

\xi(2) = {\pi \over 6}.

Representación en forma de serie[editar]

La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:

\frac{d}{dz} \ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right) = 
\sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n.

Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener \lambda_n >0 para todo número positivo n.

Hipótesis de Riemann[editar]

Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann ies equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador

 -D^{2}+f(x) \,

con

 f^{-1}(x) = \sqrt (4\pi) \frac{d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}} así,


 \frac{\xi(1/2+iz)}{\xi(1/2)}= \frac{\det(H-z^{2})}{\det(H)} ,

cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.

Referencias[editar]