Función lipschitziana

En matemática, una función f : M → N entre espacios métricos (M,d_M) y (N,d_N) se dice que es lipschitziana (o se dice que satisface una condición de Lipschitz o que es Lipschitz continua) si existe una constante K > 0 tal que:

$d_N(f(x),f(y)) \le K d_M(x,y),\ \forall x,y\in M$

En tal caso, K es llamada la constante Lipschitz de la función. El nombre viene del matemático alemán Rudolf Lipschitz. Para funciones definidas sobre espacios euclídeos la relación anterior puede escribirse:

$\|f(x)-f(y)\| \le K \|x-y\|,\ \forall x,y\in \R^n, \qquad f:\R^n\to\R^m$

Características y resultados principales

• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua y por tanto continua.

• Las funciones Lipschitz continuas con constante Lipschitz K = 1 son llamadas funciones cortas y con K < 1 reciben el nombre de contracciones. Estas últimas son las que permiten aplicar el teorema del punto fijo de Banach.
• La condición de Lipschitz es una hipótesis importante para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para las ecuaciones diferenciales ordinarias. La condición de continuidad de la función por sí sola nos asegura la existencia de soluciones (Teorema de Peano), pero para poder confirmar también la unicidad de la solución necesitamos también la condición de Lipschitz (Teorema de Picard-Lindelöf).

• Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f : U → R es una función Lipschitz continua a valores reales, entonces siempre existe una función Lipschitz continua M → R que extiende f y tiene la misma constante Lipschitz que f.(ver también teorema de Kirszbraun).

• Una función Lipschitz continua f : I → R, donde I es un intervalo en R, es diferenciable casi en todas partes (siempre, excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero). Si K es la constante Lipschitz de f, entonces |(f')(x)| ≤ K toda vez que la derivada exista. Contrariamente, si f : I → R es una función diferenciable con derivada acotada, |(f')(x)| ≤ L para toda x en I, entonces f es Lipschitz continua con constante Lipschitz K ≤ L, una consecuencia del teorema del valor medio.

Definiciones relacionadas

Estas definiciones se requieren en el Teorema de Picard-Lindelöf y en resultados relacionados con él.

• Localidad Lipschitz: Dados M, N, espacios métricos, se dice que una función $f:M \longrightarrow N$ es localmente lipschitz si para todo punto de M existe un entorno donde la función cumple la condición Lipschitz.
• Función Lipschitz respecto una variable: Dados M, N, L espacios métricos, se dice que una función $\begin{matrix}f : M \times N \to L \\ (t,x) \mapsto f(t,x)\end{matrix}$ es localmente Lipschitz respecto $x$ si cumple la condición Lipschitz para puntos de N.

Ejemplos

Sea $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ Lipchitz continua, particularizando para una función lineal del tipo $f(x)=ax+b$, basta tomar $\delta=\frac{\varepsilon}{|a|}$ y se demuestra. De paso se obtiene la continuidad uniforme.