Fracción continua de Rogers-Ramanujan

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La fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.

Definición[editar]

La fracción continua de Ramanujan es

1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}  = \frac{G(q)}{H(q)}=1+q -q^3 +q^5-\cdots(sucesión A003823 en OEIS)

donde:

G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}
	=1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots
(sucesión A003114 en OEIS)

y

H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}
=1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots.
(sucesión A003106 en OEIS)

son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.

Aquí, (a;q)_\infty denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.

Formas modulares[editar]

Si q = e2πiτ, entonces q−1/60G(q) y q11/60H(q) y también q1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.

Ejemplos[editar]

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots

donde \varphi es el número áureo (Aproximadamente 1.618)

El inverso multiplicativo de esta expresión es:


\begin{align}
& {} \quad 1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1+ \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1+\dots}}} = \frac{1}{2}\left[1+\sqrt{5}+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}\right]\,e^{-2\pi/5} \\  \\
& = \frac{e^{-2\pi/5}}{\sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi } = 1.0018674\dots
\end{align}


\begin{align}
& {} \quad \cfrac{1}{1+\cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1+\dots}}} \\  \\
& = \left( \frac{\sqrt{5}}{1+[5^{3/4} (\varphi-1)^{5/2}-1]^{1/5}} - {\varphi}\right) \, e^{2\pi/\sqrt{5}} = 0.99999920\dots
\end{align}

El inverso multiplicativo de esta expresión es:


\begin{align}
& {} \quad 1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1+\dots}} \\  \\
& = \cfrac{e^{-2\pi/\sqrt{5}}}{{}\ \  \cfrac{\sqrt{5}}{ 1+\left[5^{3/4}( \varphi-1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi\ \ {}} = 1.000000791267\dots
\end{align}

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]