Fracción

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En matemáticas, una fracción, número fraccionario, (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)[1] es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad ; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado \mathbb Q.

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

\frac{3}{4} + \frac{1}{4}  = 1

tres cuartos más un cuarto

Representación y modelización de fracciones[editar]

Numerador y denominador[editar]

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común a/b el denominador b representa la cantidad de partes iguales en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador "a" es el entero.

Representación gráfica y analítica[editar]

Fraction3 4.svg
Cake quarters.svg
Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4 .

Suelen utilizarse figuras geométricas (los cuales representan la unidad) divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas de estas partes como indique el numerador.

  • Notación y convenciones:
    • en una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);
    • una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o -\dfrac{3}{4} , pero no 3/-4);
    • una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que a/b\ = a \cdot 1/b\ ; si tanto a como b son números negativos (-a/-b), el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;
    • toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de «fracción».

La expresión genérica  a/b representa una división algebraica, por lo que el divisor debe ser distinto de cero (b \neq 0); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que puede ser finito o infinito periódico (ver Número periódico).

Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su expansión decimal será infinita no-periódica.

Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

  • Ejemplos
 \dfrac{3}{4} ; 3/4 ; 3/4 ; (¾) ; fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%;
 \dfrac{x^2}{(x+3)(x-3)} ; fracción: numerador y denominador (x+3)(x-3), el valor decimal dependerá del valor de la variable x.

Clasificación de fracciones[editar]

 
1/2 un medio
1/3 un tercio
1/4 un cuarto
1/5 un quinto
1/6 un sexto
1/7 un séptimo
1/8 un octavo
1/9 un noveno
1/10 un décimo
1/11 un onceavo
1/12 un doceavo
1/13 un treceavo
  • Según la relación entre el numerador y el denominador:
    • Fracción mixta: suma abreviada de un entero y una fracción propia:  3\ ¼ ,  2\ ½ , \dots\
    • Fracción propia: fracción en que el denominador es mayor que el numerador: 1/3\; , \; 3/8\; , \; 3/4\; , \dots\
    • Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: 13/6\; , \; 18/8 \; , \; 5/2 \; , \dots\
    • Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada:  2/4 \; , \; 6/18 \; , \; 155/150\; , \dots \
    • Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y por tanto no puede ser simplificada:  1/2 \; , \; 3/5 \; , \; 13/15\; , \dots \
    • Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador: 2/3 \;\ y 3/2\;\  ; 1/2 \;\ y 2\  ;  \dots\
    • Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: 3/3=1\; ; \ 12/3=4\  ; \dots\
    • Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
  • Según la escritura del denominador:
    • Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada: 1/2 = 2/4 = 4/8 = 50/100, \dots\
    • Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: 1/4 \ y  3/4 \  ;  1/27 \ y  3/27 \ ; \dots\
    • Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: 1/4 \ y  3/5 \  ;  -1/5 \ y  5/1 \ ;  \dots\
    • Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10, 2/100... En general: \frac{a}{10^n}, con a un entero positivo y n un natural.
    • Fracción continua: es una expresión del tipo: x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\dots}}}.
  • Según la escritura del numerador:
    • Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.
    • Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
    • Fracción gradual[2] : \frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots}{a_3}}{a_2}}{a_1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot a_2}+\frac{1}{a_1\cdot a_2\cdot a_3}+\ \cdots
  • Otras clasificaciones:

Nota: Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.

Cálculo aritmético[editar]

Ejemplo de fracción aparente.
  • Algoritmo para la suma o resta:

\frac{a}{b}  \pm \frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}  \pm  \frac{bc}{bd}=\frac{ad  \pm  bc}{bd}

  • Algoritmo para la multiplicación y la división:

Fórmula para el producto: \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Fórmula para el cociente: \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}

Número mixto[editar]

Un número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.[3]

Toda fracción impropia \frac{p}{q} puede escribirse como número mixto: A\ a/b, en donde A a/b denota A+\frac{a}{b} (donde A\in \mathbb{Z},~A\geq 0, es la parte entera).

  • Ejemplos:
\frac{30}{20}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} «Una cucharadita y media de...»
15.70/12.561 \approx 5/4=1\frac{1}{4} «En una hora y cuarto...»

A partir de un cierto nivel de álgebra elemental, la notación mixta suele sustituirse por fracciones impropias, que son más operacionales.[4]

Fracción irreducible[editar]

Dada una fracción reducible (el numerador y el denominador son primos entre sí), esta siempre se puede reducir (i.e. simplificar) hasta obtener una fracción equivalente irreducible. La noción de fracción irreducible se generaliza al cuerpo de cocientes de cualquier dominio de factorización única: todo elemento de este cuerpo puede escribirse como una fracción en la cual el numerador y el denominador son coprimos.

Fracción equivalente[editar]

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto.

  • Ejemplo:
las fracciones  \dfrac{1}{2} ,  \dfrac{2}{4} ,  \dfrac{3}{6} y  \dfrac{x}{2x} son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio».

Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) por uno.

  • Ejemplos:
 \dfrac{x}{2x}= \dfrac{x}{x} \cdot  \dfrac{1}{2} en donde  \dfrac{x}{x}=1 .
 \dfrac{3}{6}= \dfrac{3}{3} \cdot \dfrac{1}{2} en donde  \dfrac{3}{3}=1 .

El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele representarse por la única fracción equivalente irreducible del conjunto.

Fracción como porcentaje[editar]

Percent 18e.svg

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100: utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación.

  • Ejemplos:
La expresión de un número por mil (1.000‰), es una manera de expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un porcentaje; se escribe con el signo ‰.
Una parte por billón (notado ppb) es una unidad de medida para expresar concentraciones extremadamente pequeñas.

Historia[editar]

En el Antiguo Egipto se calculaba utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son las primeras fracciones utilizadas para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número entero.[5] Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un cuarto, etc., de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Se puede demostrar además, que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. El jeroglífico de una boca abierta
D21
denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

Los babilonios utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60. El sistema chino de numeración con varillas permitía la representación de fracciones. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. Diofanto de Alejandría (siglo IV) escribía y utilizaba fracciones. Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal» de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó de restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadas fracciones vulgares o comunes. Finalmente, se introducen las «fracciones decimales», en donde el denominador se escribe como una potencia de diez.

Khwarizmi introduce las fracciones en los países islámicos en el siglo IX. La forma de representar las fracciones provenía de la representación tradicional china, con el numerador situado sobre el denominador, pero sin barra separadora. Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en su Liber Abaci (Libro del Ábaco[2] ), escrito en 1202, expone una teoría de los números fraccionarios. Las fracciones se presentan como fracciones egipcias, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos.

Cronología[6]
Año Acontecimiento
1800 a. C. Registro de uso de fracciones por el Imperio Babilónico.
1650 a.C. Sistema de fracciones egipcias.
500-600 d.C. Aryabhata y Brahmagupta desarrollan las fracciones unitarias.
100 Sistema chino de cálculo de fracciones con varillas (Suanpan).
1202 Fibonacci difunde la notación con barra para separar numerador y denominador.
1585 Teoría sobre las fracciones decimales de Simon Stevin.
1700 Uso generalizado de la línea fraccionaria (barra horizontal u oblícua).

Fracción decimal[editar]

Una fracción decimal es una fracción del tipo \frac{a}{10^n}, es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Por convención, se toma a positiva. Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, como número decimal exacto (Por ejemplo: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal simplemente multiplicando por un potencia apropiada de \frac{10^n}{10^n} (Por ejemplo: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracción decimal no es necesariamente irreducible.

Se cree que las fracciones decimales eran conocidas por los matemáticos chinos en el siglo I, y que de ahí se extendió su uso a medio Oriente y Europa.[7] J. Lennart Berggren nota que un sistema posicional con fracciones decimales fue utilizado por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en el siglo X.[8]

Khwarizmi introduce las fracciones al mundo islámico a comienzos del siglo IX. Su representación de las fracciones está tomada de la matemática tradicional china. Esta forma de escritura de las fracciones con el numerador arriba y el denominador abajo, sin barra horizontal, fue utilizada también en el siglo X por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi y en el siglo XV por Jamshīd al-Kāshī en su trabajo La llave aritmética.

El uso moderno fue definitivamente introducido por Simon Stevin en el siglo xvi.[9]

Fracción continua[editar]

Se llama fracción continua de orden n a una expresión de la forma:


   x = a_0 +
   \cfrac
      {1}
      {a_1 +
      \cfrac
         {1}
         {a_2 +
         \cfrac
            {1}
            {
               \begin{array}{l}
                  \ddots \\
                  {a_{n-2} +
                  \cfrac
                     {1}
                     {a_{n-1} +
                     \cfrac
                        {1}
                        {a_n}
                     }
                  } 
               \end{array}
            }
         }
      }

En donde (a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)\ es una sucesión de enteros positivos.

Fracción unitaria[editar]

Una fracción unitaria es una fracción común en la cual el numerador es igual a 1 y el denominador es un entero positivo:  1/2 \; , \  1/3 \; , \ 1/4\; , \dots\ Las fracciones unitarias son los recíprocos multiplicativos de los números naturales (es decir de los enteros positivos).

  • Ejemplos:
La serie armónica : \frac11+\frac12+\frac13+\cdots
La serie geométrica: \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots
Las fracciones egipcias son otro ejemplo de aplicación de las fracciones unitarias.

Fracción egipcia[editar]

El ojo de Horus (Udyat) contiene los símbolos jeroglíficos de los primeros números racionales.

Se le llama fracción egipcia al tipo de representación de fracciones utilizado en el Antiguo Egipto. Una fracción común -positiva- se escribe por medio de una suma de fracciones unitarias distintas, es decir que ninguno de los sumandos tiene el mismo denominador.

Ejemplos:

  • \frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}


  • \frac{19}{20} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{180}


  • \frac{19}{20} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}


Todo número racional positivo se puede expresar como suma de fracciones unitarias (es decir, como fracción egipcia), si bien la representación no es única, como se aprecia en el ejemplo. Las fracciones egipcias fueron utilizadas también por los matemáticos griegos y durante la Edad Media. El matemático medieval Fibonacci (en su Liber abaci) describe su uso y las desarrolla dentro del marco moderno de las series matemáticas.

Véase también[editar]

Clasificación de números
Complejos \mathbb{C}
Reales \mathbb{R}
Racionales \mathbb{Q}
Enteros \mathbb{Z}
Naturales \mathbb{N}
1: uno
Naturales primos
Naturales compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios

Notas y referencias[editar]

  1. «fracción», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/?val=fracci%C3%B3n 
  2. a b Estudiadas por Fibonacci
  3. Vivens, Vicens (1998). Matemáticas 3. ISBN 84-316-4644-6. 
  4. Mathwords, Mixed number, (en inglés).
  5. Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics (6th ed. edición). Philadelphia: Saunders College Pub. ISBN 0030295580. 
  6. Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9. 
  7. Joseph Needham (1959). «Decimal System». Science and Civilisation in China, Volume III. Cambridge University Press. 
  8. Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 9780691114859. 
  9. B. L. van der Waerden (1985). A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether. Berlin: Springer-Verlag. 

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]