Identidades trigonométricas

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Todas las funciones en  O.
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Relaciones básicas[editar]

Relación pitagórica \sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,
Identidad de la razón \tan \theta = \frac{\sen \theta}{\cos \theta}

De estas dos identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si \scriptstyle\sen \theta \,=\, 1/2 la conversión propuesta en la tabla indica que \scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \sen^2\theta} = \sqrt{3}/2, aunque es posible que \scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2. Para obtener el signo correcto se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.[1]
En términos de  \sen\!  \cos\!  \tan\!  \cot\!  \sec\!  \csc\!
 \sen \theta  \sen \theta\  \sqrt{1 - \cos^2\theta}  \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}  \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}  \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}  \frac{1}{\csc \theta}
 \cos \theta  \sqrt{1 - \sen^2\theta}  \cos \theta\  \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}  \frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}  \frac{1}{\sec \theta}  \frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}
 \tan \theta  \frac{\sen\theta}{\sqrt{1 - \sen^2\theta}}  \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}  \tan \theta\  \frac{1}{\cot \theta}  \sqrt{\sec^2\theta - 1}  \frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}
 \cot \theta  {\sqrt{1 - \sen^2\theta} \over \sen \theta}  {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}  \frac{1}{\tan \theta}  \cot\theta\  {1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}  \sqrt{\csc^2\theta - 1}
 \sec \theta  {1 \over \sqrt{1 - \sen^2\theta}}  {1 \over \cos \theta}  \sqrt{1 + \tan^2\theta}  {\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta} \sec\theta\  {\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}
 \csc \theta  {1 \over \sen \theta}  {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}  {\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}  \sqrt{1 + \cot^2 \theta}  {\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}  \csc \theta\

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

 \tan{x} = \frac {\sen{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\sen{x}}
\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\sen{x}}

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

 \sen(x) = \sen(x + 2\pi) \qquad  \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)
 \sen(-x) = \sen(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi)
  \tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)
 \sen(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
  \qquad \cos(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
  \qquad  \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

a\sen(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sen\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)
\sen^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

\sen(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)}
\qquad \sen(x) = \frac {\tan{x}} {\sqrt{1+\tan^2(x)}}
\sen(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}}
\qquad \sen(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}

Ejemplo 2:

\frac{\sec^2 t -1}{\sec^2 t}= \sen^2 t

Utilizando la identidad

 \sec^2 t-\tan^2 t=1
\sec^2 t =1+\tan^2 t

Entonces:

(*)

 \frac{1+\tan^2 t -1}{\sec^2 t} = \sen^2t

substituyendo en (*):

\frac{1+\tan^2 t - 1}{\frac{1}{\cos^2 t}} = \sen^2 t

Realizando las operaciones necesarias se llega a:

 \frac{\sen^2 t \cos^2 t}{\cos^2 t} = \sen^2 t \Rightarrow
 \sen^2 t = \sen^2 t

Y queda demostrado.

El resto de las funciones se realiza de manera análoga.

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos[editar]

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

 \sen(x \pm y) = \sen(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sen(y)

 \cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sen(x) \sen(y)

 \tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}

DemosSin.svg

Primera demostración por semejanza de triángulos:

Para comprobar \sen(\alpha + \beta) = \sen(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sen(\beta) hace falta substituir las relaciones trigonométricas del dibujo construible:

 \frac{DB}{DA}=\frac{EF}{EA}\frac{AF}{AD}+\frac{AF}{AE}\frac{DF}{DA}

simplificando AD y sacando factor común \frac{AF}{AE} queda:

 DB=\frac{AF}{AE}(EF+FD)

como EF+FD=ED:

\frac{DB}{DE}=\frac{AF}{AE}

confirmándose el resultado por semejanza de triángulos.

DemosSin2.svg

Segunda demostración por áreas de triángulos:

La relación entre áreas del dibujo es:

A_(total)=A_a+A_b

aplicando fórmulas de áreas y con a \cos \alpha = b \cos \beta se obtiene:

\frac{\sen(\alpha+\beta)ab}{2}=\frac{\sen \alpha \cos \beta ab}{2}+\frac{\sen \beta \cos \alpha ab}{2}

simplificando:

\sen(\alpha+\beta)=\sen \alpha \cos \beta +\sen \beta \cos \alpha.

Demostración de  \sen(x - y) = \sen(x) \cos(y) - \cos(x) \sen(y) aplicando la identidad antes demostrada:

 \sen(x - y) =  \sen(x +(- y)) = \sen(x) \cos(-y) + \cos(x) \sen(-y) = \sen(x) \cos(y) + \cos(x)(- \sen(y)).

Demostración de  \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sen(x) \sen(y) aplicando la primera identidad:

\cos(x + y)=\sen(x+(y+\frac{\pi}{2})) = \sen(x) \cos(y+\frac{\pi}{2}) + \cos(x) \sen(y+\frac{\pi}{2}) = \sen(x) (-\sen(y)) + \cos(x) \cos(y).

Demostración de  \cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \sen(x) \sen(y) aplicando la identidad antes demostrada:

 \cos(x - y) =  \cos(x +(- y)) = \cos(x) \cos(-y) - \sen(x) \sen(-y) = \cos(x) \cos(y) - \sen(x) (-\sen(y))= \cos(x) \cos(y) + \sen(x) \sen(y).

Demostración de   \tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}

\tan(\alpha \pm \beta)=\frac{\sen(\alpha \pm \beta)}{\cos(\alpha \pm \beta)}=\frac{\sen(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sen(\beta)}{\cos(\beta)\cos(\alpha) \mp \sen(\alpha)\sen(\beta)}=  \frac{\frac{\sen(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sen(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\frac{\cos(\beta)\cos(\alpha) \mp \sen(\alpha)\sen(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}= \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)}.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

 \sen(\pi \pm x) = \mp\sen(x)
 \cos(\pi \pm x) = -\cos(x)
 \tan(\pi \pm x) = \pm\tan(x)
 \csc(\pi \pm x) = \mp\csc(x)


Para ángulos complementarios:

 \sen\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)
 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sen(x)
 \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)
 \csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)
 \sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)
 \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)

Para ángulos opuestos:

 \sen\left(-x\right) = -\sen\left(x\right)
 \cos\left(-x\right) = \cos\left(x\right)
 \tan\left(-x\right) = -\tan\left(x\right)
 \csc\left(-x\right) = -\csc\left(x\right)
 \sec\left(-x\right) = \sec\left(x\right)
 \cot\left(-x\right) = -\cot\left(x\right)

Identidades del ángulo múltiple[editar]

Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

 \cos(nx)=T_n(\cos(x)).

Fórmula de De Moivre:

 \cos(nx)+i\sen(nx)=(\cos(x)+i\sen(x))^n

Identidades del ángulo doble, triple y medio[editar]

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea \sen(x+x)=\sen(2x)) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2 .

Fórmula del ángulo doble
\begin{align}
\sen 2\theta &= 2 \sen \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sen^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\
&= 1 - 2 \sen^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\, \cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,
Fórmula del ángulo triple
\sen 3\theta = 3 \sen \theta- 4 \sen^3\theta \, \cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \, \tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}  
Fórmula del ángulo medio
\sen \tfrac{\theta}{2} =  \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \cos \tfrac{\theta}{2} =  \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sen \theta}{1 + \cos \theta} \end{align} \cot \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta

Producto infinito de Euler[editar]

 \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sen(\theta)\over \theta}.

Identidades para la reducción de exponentes[editar]

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sen²(x).

Seno \sen^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \sen^3\theta = \frac{3 \sen\theta - \sen 3\theta}{4}
Coseno \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4} \cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8} \cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}
Otros \sen^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8} \sen^3\theta \cos^3\theta = \frac{\sen^3 2\theta}{8}

Paso de producto a suma[editar]

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

\sen x \sen y= {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}

\cos x \cos y= {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}

\sen x \cos y= {\sen(x + y) + \sen(x - y) \over 2}

\cos x \sen y= {\sen(x + y) - \sen(x - y) \over 2}

Demostración
\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

 \cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sen(x) \sen(y)

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1):  \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sen(x) \sen(y)
2):  \cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \sen(x) \sen(y)

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3): \cos(x) \cos(y)=  \cos(x + y) + \sen(x) \sen(y)

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

 \cos(x) \cos(y) + \sen(x) \sen(y) + \cos(x) \cos(y)=  \cos(x + y) + \sen(x) \sen(y) +  \cos(x - y)

Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

 2 \cos(x) \cos(y) =  \cos(x + y) +  \cos(x - y)

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

\sen(x) \sen(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto[editar]

\sen a+ \sen b= \;\;\;2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)

\sen a- \sen b= \;\;\;2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)

\cos a+ \cos b= \;\;\;2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)

\cos a- \cos b= -2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (ab) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a producto[editar]

1) \sen^2 x-\sen^2 y= \sen(x+y)\sen(x-y)\,
2) \cos^2 x-\sen^2 y= \cos(x+y)\cos(x-y)\,
Deducción

1) recordando: que cateto opuesto sobre cateto adyacente

\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sen x\sen y\,
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y\,

multiplicando

\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2 x\cos^2 y-\sen^2 x\sen^2 y \,

De tal manera que obtendremos:

\sen^2 x=1-\cos^2 x\,
\cos^2 y=1-\sen^2 y\,

aplicando esto en la ecuación inicial

\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2 x(1-\sen^2 y)-(1-\cos^2 x)\sen^2 y\,

multiplicando

1)\cos^2 x-\sen^2 y=\cos(x+y)\cos(x-y)\,

De una manera análoga se halla el primer teorema.

Eliminar seno y coseno[editar]

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

 |\sen{(x)}| = \frac{|\tan{(x)}|}{ \sqrt{1 + \tan^2{(x)}} }
 \sen{\left( x \right)} = {2} \sen{\left( \frac{x}{2} \right)} \cos{\left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}
 \cos{\left( x \right)} = 2\cos^2{\left( \frac{x}{2} \right)} -1=
\frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}
 |\cos{\left( x \right)}| = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }

Funciones trigonométricas inversas[editar]

\arctan(x)+\arccot(x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\  -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..
\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)

Composición de funciones trigonométricas[editar]

\sen(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\sen(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}
\tan(arcsen (x))=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
\cos(arcsen(x))=\sqrt{1-x^2} \,
\tan(\arccos (x))=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
para n\in \mathbb{N}:
\cos(n\arccos(x))=\frac{2^n x^n}{2}+\sum_{k=1} (-1)^k\frac{n}{k}\left(
\begin{matrix} n-1-k\\ k-1 \end{matrix} \right)(2x)^{n-2k}
\sen(n\;arcsen(x))= x\left[\sum_{k=0} (-1)^k \left(
\begin{matrix} n-1-k\\ k \end{matrix} \right)(2x)^{n-2k-1}\right]

Fórmula de productos infinitos[editar]

Seno Coseno
\sen x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
senh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\frac{\sen x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)
\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)

Fórmula de Euler[editar]

 e^{+\mathrm{i}x} = \cos{\left( x \right)} + \mathrm{i}\sen{\left( x \right)}
 e^{-\mathrm{i}x} = \cos{\left( x \right)} - \mathrm{i}\sen{\left( x \right)}

Teorema del Coseno[editar]

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,

Teorema del seno[editar]

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

\frac{a}{\sen(A)}= \frac{b}{\sen(B)} = \frac{c}{\sen(C)}

Demostración[editar]

El teorema de los senos establece que a/sen(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

\sen\,A=\sen\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

\frac{a}{\sen\,A} = 2R

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

\frac{a}{\sen\,A} =\frac{b}{\sen\,B} =\frac{c}{\sen\,C}=2R.

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Aplicación[editar]

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

Definiciones exponenciales[editar]

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

Función Función inversa
\sen \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, arcsen x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \, \arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,
\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \, \arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,
\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,
\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \, \arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,
\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i - x}{i + x}\right) \,
\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \, \operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Trigonometría (Segunda edición). Limusa(Noriega editores). ISBN 968-18-5617-1.  El recuadro se parece mucho pero el libro tiene un lapsus en la última casilla.

Bibliografía[editar]

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos[editar]