Formas de Chern-Simons

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Las formas de Chern-Simons, en matemáticas, son ciertas clases características secundarias. Se les han encontrado interés en teoría de gauge, y (especialmente las 3-formas) definen la acción de la teoría de Chern-Simons. El nombre se debe a sus creadores, Shiing-Shen Chern y Jim Simons.

Dado una variedad y una 1-forma A a valores en un álgebra de Lie, se puede definir una familia de p-formas:

En una dimensión, la 1-forma de Chern-Simons viene dada por

Tr[\bold{A}].

En tres dimensiones, las 3-formas de Chern-Simons vienen dadas por

Tr[\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{3}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}].

En cinco dimensiones, las 5-formas de Chern-Simons vienen dadas por

Tr[\bold{F}\wedge\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{2}\bold{F}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} +\frac{1}{10}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}]

donde se define la curvatura F como

d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}.

La forma general de Chern-Simons ω2k-1 se define de manera tal que dω2k-1 = Tr (Fk) donde se utiliza para definir Fk el producto cuña.

Véase teoría de gauge para más detalles.

En general, la p-forma de Chern-Simons se define para cualquier p impar. Confrontar teoría de gauge para las definiciones. Su integral sobre una variedad p-dimensional es un invariante de homotopía. Este valor se llama el número de Chern.

Véase también[editar]