Factor de Landé

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En física, el factor de Landé es una constante de proporcionalidad entre el momento magnético de un sistema y el correspondiente número cuántico. Se utiliza para resumir de forma efectiva los efectos que hacen que se desvíe el momento magnético de los electrones desapareados de un ion paramagnético del que tendrían esos mismos electrones en el vacío.

Contexto y fórmula[editar]

En mecánica cuántica, el llamado efecto Zeeman consiste en el desdoblamiento de niveles de energía en un átomo cuando se aplica un campo magnético externo. Cuando el campo es lo bastante débil, se puede aplicar la teoría de perturbaciones para obtener el valor del desdoblamiento.

El resultado al que se llega es que el aumento (o disminución) en la energía de un nivel concreto depende de los números cuánticos S, L, J y MJ de ese nivel. Si se considera un campo magnético \vec{B} paralelo a la dirección espacial Z, se obteniene que la variación de energía correspondiente a un estado propio del hamiltoniano de estructura fina | \gamma L S ; J M_J \rangle es:


   \Delta E =
   \mu_B B g M_J

donde \mu_B es el magnetón de Bohr y g es el factor de Landé, que viene dado por la expresión:


   g =
   \frac{3}{2} + \frac{S (S+1) - L (L+1)}{2J (J+1)}

Obtención del factor de Landé[editar]

Es posible deducir el valor del factor de Landé a partir del operador hamiltoniano de acoplamiento magnético (perturbación al hamiltoniano de estructura fina). Éste se puede escribir como sigue:


   H_B =
   \frac{\mu_B}{\hbar} B (2S_z + L_z)

Hay un problema con la base utilizada. La base de vectores propios del hamiltoniano de estructura fina es la | J M_J \rangle. Los operadores L_z y S_z no tienen como base de vectores propios la base | J M_J \rangle. Se debe por tanto expresar estos operadores en función de otros cuya actuación sobre la base | J M_J \rangle sí conozcamos.

Mediante el teorema de proyección, se puede escribir, exclusivamente dentro del subespacio formado por la base \left[ | J M_J \rangle \right] con J fijo, lo siguiente:


   S_z =
   \dfrac{\langle \vec{J} \cdot \vec{S} \rangle}{\langle \vec{J}^2 \rangle} J_z

   L_z =
   \dfrac{\langle \vec{J} \cdot \vec{L} \rangle}{\langle \vec{J}^2 \rangle} J_z

lo que permite reescribir H_B en la forma:


   H_B =
   \cfrac{\mu_B}{\hbar}
   B
   \cfrac
      {2 \langle \vec{J} \cdot \vec{S} \rangle + \langle \vec{J} \cdot \vec{L} \rangle}
      {\langle \vec{J}^2 \rangle}
   J_z

Por un lado, se verifica que:


   \langle \vec{J}^2 \rangle =
   \langle \gamma L S ; J M_J | \vec{J}^2 | \gamma L S ; J M_J \rangle =
   J (J + 1) \hbar^2

Por otro, de forma no tan inmediata y a partir de que:


   \vec{J} =
   \vec{L} + \vec{S}

y que:


   \vec{L} \cdot \vec{S} =
   \frac{1}{2} ( \vec{J}^2 - \vec{L}^2 - \vec{S}^2 )

es posible hacer el siguiente desarrollo:


   \langle \vec{J} \cdot \vec{S} \rangle =
   \langle ( \vec{L} + \vec{S} ) \cdot \vec{S} \rangle =
   \langle \vec{L} \cdot \vec{S} + \vec{S}^2 \rangle =
   \langle \frac{1}{2} ( \vec{J}^2 + \vec{S}^2 - \vec{L}^2 ) \rangle =
   \frac{1}{2} \hbar^2 ( J(J+1) + S(S+1) - L(L+1))

De forma totalmente análoga se llega al resultado:


   \langle \vec{J} \cdot \vec{L} \rangle =
   \frac{1}{2} \hbar^2 ( J(J+1) - S(S+1) + L(L+1))

De esta manera, se obtiene la nueva forma de H_B:


   H_B =
   \dfrac{\mu_B}{\hbar} B \dfrac{3J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)} J_z

Reagrupando, queda:


   H_B =
   \frac{\mu_B}{\hbar}
   B
   \left (
      \cfrac{3}{2} +
      \cfrac{S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}
   \right )
   J_z

donde


   g =
   \frac{3}{2} + \dfrac{S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}

es el factor de Landé.

La corrección a la energía, por teoría de perturbaciones de primer orden, se obtiene como:


   \Delta E =
   \langle J M_J | H_B | J M_J \rangle =
   \mu_B B g M_J

que es el resultado al que se quería llegar.

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]

Cómo se obtiene el factor de Landé