Fórmula de d'Alembert

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La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

u_{tt}-c^2u_{xx}=0,\, u(x,0)=g(x),\, u_t(x,0)=h(x),

para -\infty < x<\infty,\,\, t>0. Fue descubierta por el matemático Jean le Rond d'Alembert.

Las características de esta ecuación son x\pm ct=\mathrm{const}\,, por lo que usamos el cambio de variables \mu=x+ct, \eta=x-ct\, para transformar la ecuación en u_{\mu\eta}=0\,. La solución general a esta última es u(\mu,\eta) = F(\mu) + G(\eta)\, donde F\, y G\, son funciones C^1\,. En términos de las coordenadas x,t\, originales,

u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,
donde u\, es C^2\, si F\, y G\, son C^2\,.

Esta solución u\, puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades \pm c\, que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy u(x,0)=g(x), u_t(x,0)=h(x)\,.

Usando u(x,0)=g(x)\, obtenemos F(x)+G(x)=g(x)\,.

Usando u_t(x,0)=h(x)\, obtenemos cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,.

Al integrar la última ecuación obtenemos

cF(x)-cG(x)=\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi + c_1\,

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

F(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)-\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,
G(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)+\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,

Ahora, usando

u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct)\,

obtenemos la fórmula de d'Alembert:

u(x,t) = \frac{1}{2}\left[g(x-ct) + g(x+ct)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} h(\xi) d\xi

Bibliografía adicional[editar]

  • Chester, C. (1971). Techniques in Partial Differential Equations (en inglés). McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos[editar]

  • Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com