Exponente de Lyapunov

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El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial \delta \mathbf{Z}_0 diverge

 | \delta\mathbf{Z}(t) | \approx e^{\lambda t} | \delta \mathbf{Z}_0 |

El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

Definición[editar]

Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación f ^t en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov

 \{ \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n \} \,,

en general depende del punto de inicio x_0. El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:

 J^t(x_0) = \left. \frac{ d f^t(x) }{dx} \right|_{x_0} .

La matriz J^t describe cómo un pequeño cambio en el punto x_0 se propaga hasta el punto final f^t(x_0). El límite

 \lim_{t \rightarrow \infty} (J^t \cdot \mathrm{Transpose}(J^t) )^{1/2t}

define a una matriz L(x_0) (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec. Si  \Lambda_i(x_0) son los valores dados de L(x_0), entonces el exponente Lyapunov \lambda_i está definido por

 \lambda_i(x_0) = \log \Lambda_i(x_0) \,.

Propiedades básicas[editar]

  • Si el sistema es conservativo (no existe disipación), la suma de todos los exponentes Lyapunov debe ser cero.
  • Si el sistema es disipativo, la suma será negativa.
  • Si el sistema es un flujo, un exponente será siempre cero.
  • En un sistema dinámico hamiltoniano, la suma sólo puede ser positiva si el sistema es un sistema abierto.
  • El espectro de Lyapunov puede ser usado para estimar el radio de producción de entropía de un sistema dinámico.
  • El inverso del mayor exponente Lyapunov es llamado a veces en literatura momento Lyapunov. Para órbitas caóticas, el momento Lyapunov será finito, aunque para órbitas regulares será infinito.

Cálculo numérico.[editar]

Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz L basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo L.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Fernádez Rañada, Antonio (2005). Fondo de Cultura Económica, ed. Dinámica Clásica (1ª edición). México DF. pp. 545–600. ISBN 84-206-8133-4. 

Enlaces externos[editar]