Hexágono

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Hexágono

Un hexágono regular
Características
Tipo Polígono regular
Lados 6
Vértices 6
Grupo de simetría , orden 2x6
Símbolo de Schläfli {6}, t{3} (hexágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual Autodual
Área
(radio )
Ángulo interior 120°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
Un hexágono regular y sus ángulos principales
Hexágono irregular

En geometría plana elemental, un hexágono[1][2]​ o exágono (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en la RAE) es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griego ἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

Propiedades[editar]

Un hexágono tiene:

Parhexágono[editar]

Siguiendo el hilo de un paralelogramo, un parhexágono o parexágono es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.[3]

Proposición[editar]

Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.[4]

Hexágono regular[editar]

Medidas del hexágono regular
Animación paso a paso de la construcción de un hexágono regular con regla y compás, según la obra de Euclides Elementos, Libro IV, Proposición 15: esto es posible porque 6 2 × 3, producto de una potencia de dos y números de Fermat distintos.
Cuando se da la longitud lateral AB, al trazar un arco de círculo desde el punto A y el punto B se obtiene la intersección M, el centro de la circunferencia circunscrita. Trasladar el segmento de recta AB four times on the circumscribed circle and connect the corner points.

El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales, siempre dividido en triángulos simétricos o asimétricos.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

  • Sus ángulos internos son congruentes midiendo 120° o rad. Resultado de
  • Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60° o rad.
  • Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
    • Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
    • Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
  • Además de los cuadrados y los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para revestir totalmente una superficie plana sin dejar ningún vano.
  • Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el plano complejo, siendo el primer vértice el punto (1,0).[5]
  • Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia.Atendiendo a la figura, sería el radio del círculo inscrito, el radio del círculo circunscrito y la longitud de un lado. Caben las igualdades:[6]
, la longitud de un lado es igual al radio del círculo circunscrito.
, de esta forma se relacionan los radios de las circunferencias, entonces:
y podemos concluir que
Para una Hexágono regular de círculo circunscrito y longitud de lado , el radio de la inscrita sería aproximadamente
  • Las perpendiculares trazadas por los puntos medios del hexágono regular y las bisectrices de los ángulos internos del hexágono regular son ejes de simetría del mismo.[7]

Perímetro[editar]

Su perímetro es seis veces la longitud de su lado.

, donde n es el número de lados y , la longitud del lado.

El perímetro en función de la apotema () es[8]

Y en función del radio del círculo circunscrito () es[8]

Área[editar]

Área del hexágono regular

Si se conoce la longitud del apotema a6 del polígono, una alternativa para calcular el área es:

o

Si solo conocemos el lado l6 podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

, que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

Construcción geométrica[editar]

Construcción geométrica de un hexágono regular.

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

  1. Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;
  2. Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;
  3. Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;
  4. Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E

Punto en el plano[editar]

Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con circunradio , cuyas distancias al centroide del hexágono regular y a sus seis vértices son y respectivamente, tenemos[9]

Si son las distancias desde los vértices de un hexágono regular a cualquier punto de su circunferencia, entonces[9]

Simetría[editar]

Las seis líneas de reflexión de un hexágono regular, con simetría Dih6 o r12, orden 12.
Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares) Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales. La simetría completa de la forma regular es r12 y ninguna simetría se etiqueta como a1.

El hexágono regular tiene simetría D6. Hay 16 subgrupos. Hay 8 hasta isomorfismo: sí mismo (D6), 2 diédricos: (D3, D2), 4 cíclico: (Z6, Z3, Z2, Z1) y el trivial (e).

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo.[10]r12 es simetría completa, y a1 no es simetría. p6', un isogonal hexágono construido por tres espejos pueden alternar aristas largas y cortas, y d6', un isotoxal hexágono construido con longitudes de arista iguales, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas i4 son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Puede verse como un rombo elongado, mientras que d2 y p2 pueden verse como cometas alargadas horizontal y verticalmente. Los hexágonos g2, con lados opuestos paralelos, también se denominan paralelógonos hexagonales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g6 no tiene grados de libertad pero puede verse como arista dirigidas.

Los hexágonos de simetría g2, i4, y r12, como paralelógonos pueden teselar el plano euclídeo por traslación. Otros hexágonos pueden teselar el plano con diferentes orientaciones.

p6m (*632) cmm (2*22) p2 (2222) p31m (3*3) pmg (22*) pg (××)

r12

i4

g2

d2

d2

p2

a1
Dih6 Dih2 Z2 Dih1 Z1

en contra

Grupos A2 y G2[editar]


A2 group roots

G2 group roots

Las 6 raíces del grupo de Lie simple A2, representadas por un Diagrama de Dynkin Archivo:Dyn-nodo n1.pngArchivo:Dyn-nodo n2.png, están en un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120° entre ellas.

Las 12 raíces del Grupo de Lie excepcional G2, representadas por un Diagrama de Dynkin también tienen forma hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150° entre ellas.

Disección[editar]

6-cube projection disección de 12 rombos

Coxeter afirma que todo zonágono (un polígono de 2m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en 12m(m - 1) paralelogramos.[11]​ En particular, esto es cierto para polígono regulars con un número par de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección de polígono de Petrie de un cubo, con 3 de 6 caras cuadradas. Otros paralelogramos y direcciones proyectivas del cubo se diseccionan dentro de Cuboides rectangulares.

Disección de hexágonos en tres rombos y paralelogramos
2D Rombos Paralelogramos
Regular {6} Hexagonal paralelógonos
3D Caras cuadradas Caras rectangulares
Cubo Cuboide rectangular

Galería de hexágonos naturales y artificiales[editar]


Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2023). «hexágono». Diccionario panhispánico de dudas (2.ª edición, versión provisional). 
  2. Real Academia Española. «hexágono». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). 
  3. Kasner- Newman. Matemáticas e maginación. Librería Hachete s.A., Buenos Aires (1944)
  4. Kasner-Newman. Op. cit.
  5. César A. Trejo. Variable compleja
  6. Edgar de Alencar Filho. Exercícios de geometría plana
  7. Pogorélov. Op. cit.
  8. a b Sapiña, R. «Calculadora del área y perímetro del hexágono regular». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 20 de junio de 2020. 
  9. a b Meskhishvili, Mamuka (2020). «Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids». Communications in Mathematics and Applications 11: 335-355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420. 
  10. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono pp. 275-278)
  11. Coxeter, Recreaciones y ensayos matemáticos, Decimotercera edición, p.141

Enlaces externos[editar]