Estadística de Maxwell-Boltzmann

Representación gráfica de la función densidad de distribución de Maxwell-Boltzmann.

En Física, la estadística de Maxwell-Boltzmann es una función estadística desarrollada para modelar el comportamiento de sistemas físicos regidos por la mecánica clásica. Esta función estadística clásica, formulada originalmente por los físicos J.C. Maxwell y L. Boltzmann, rige la distribución de un conjunto de partículas en función de los posibles valores de energía. Para cada sistema termodinámico, la distribución de Maxwell-Boltzmann no es otra cosa que la aplicación del colectivo canónico de la mecánica estadística, bajo el supuesto no-cuántico de que los números de ocupación de cada estado disponible son pequeños comparados con el número máximo de ocupación.

Esta función es una densidad de probabilidad cuya expresión es:

$f(\epsilon_i) = A(N;T) e^{(-\epsilon_i)/k T}$

O de forma más generalizada, puede expresarse como:

$\frac{N_i}{N} = \frac {g_i} {e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}} = \frac{g_i e^{-\epsilon_i/kT}}{Z}$

En donde:

• $A(N;T)$: es una función dependiente de $N$, el número de partículas en el sistema y de $T$, la temperatura del sistema en Kelvin.
• $N_i$ es el número de partículas en el estado i.
• $\epsilon_i$ es la energía del estado i-ésimo.
• $g_i$ es la degeneración del nivel de energía i, es decir, el número de estados (excluyendo el estado de partícula libre) con energía $\epsilon_i$.
• $\mu$ es el potencial químico.
• $k$ es la constante de Boltzmann.
• $N$ es el número total de partículas:

$N=\sum_i N_i\,$

• $Z$ es la función partición:

$Z=\sum_i g_i e^{-\epsilon_i/kT}$

• $e$ es el número de Euler.

La distribución de Maxwell-Boltzmann se ha aplicado especialmente a la teoría cinética de gases, y otros sistemas físicos, además de en econofísica para predecir la distribución de la renta. En realidad la distribución de Maxwell-Boltzmann es aplicable a cualquier sistema formado por N "partículas" o "individuos" que interacambian estacionariamente entre sí una cierta magnitud m y cada uno uno de ellos tiene una cantidad m_i de la magnitud m y a lo largo del tiempo se cumple que M := m₁+m₂+...+ m_N.

Límites de aplicación

Para un sistema de partículas cuánticas, la hipótesis de que $N_i$ sea substancialmente menor que $g_i$ para los estados diferentes del fundamental en general no se cumplirá y es necesario acudir a la estadística de Bose-Einstein si las partículas son bosónicas o a la estadística de Fermi-Dirac si las partículas son fermiónicas.

Las estadísticas de Fermi–Dirac y Bose–Einstein pueden ser expresadas como:

$N_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}\pm 1}$

Asumiendo que el valor mínimo de $\epsilon_i$ es bastante pequeño, se puede verificar que la condición en la cual la distribución de Maxwell-Boltzmann es válida es cuando se cumple que:

$e^{-\mu/kT} \gg 1$

Para un gas ideal, podemos calcular los potenciales químicos utilizando el desarrollo de la ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que :

$\mu=\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{S,V}=-kT\ln\left(\frac{V}{N\Lambda^3}\right)$

dónde $E$ es la energía interna total, $S$ es la entropía, $V$ es el volumen, y $\Lambda$ es el ancho de banda termal de de Broglie. La condición de aplicación para la distribución Maxwell-Boltzmann en un gas ideal resulta:

$\frac{V}{N\Lambda^3}\gg 1.$

Bibliografía

• Selva, Rodolfo N. (abril de 1997). «Capítulo IV». En La Llave Ediciones S.R.L.. Dispositivos Electrónicos (1ra edición edición). Buenos Aires. pp. 84 a 99. ISBN 950-795-009-5. 

Véase también

• Distribución de probabilidad
• Estadística de Fermi-Dirac
• Estadística de Bose-Einstein