Esperanza condicional

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En teoría de la probabilidad, una esperanza condicional (también conocido como valor esperado condicional o media condicional) es el valor esperado de una variable aleatoria verdadera con respecto a una distribución de probabilidad condicional.

El concepto de esperanza condicional es extremadamente importante en la Teoría de la medida de Andréi Kolmogórov -medida teórica definición de la teoría de probabilidades. De hecho, el propio concepto de probabilidad condicional es en realidad define en términos de esperanza condicional.

Introducción[editar]

Sean X e Y dos variables aleatorias discretas, a continuación, la expectativa condicional de X dado el caso Y = y es una función de y sobre el rango de Y

 \operatorname{E} (X | Y=y ) = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}(X=x|Y=y) = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \frac{\operatorname{P}(X=x,Y=y)}{\operatorname{P}(Y=y)},

donde \mathcal{X} es el rango de X.

Si ahora X es una variable aleatoria continua , mientras que Y sigue siendo una variable discreta, la expectativa condicional es:

 \operatorname{E} (X | Y=y )= \int_{\mathcal{X}} x f_X (x |Y=y) dx

donde  f_X (\,\cdot\, |Y=y) es la densidad condicional de X dado Y=y.

Un problema surge cuando Y es continua. En este caso, la probabilidad P (Y = y) = 0, y la paradoja de Borel-Kolmogorov demuestra la ambigüedad de intentar definir probabilidad condicional a lo largo de estas líneas.

Sin embargo, la expresión anterior puede ser reorganizado:

 \operatorname{E} (X | Y=y) \operatorname{P}(Y=y) = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}(X=x,Y=y),

y aunque esto es trivial para valores individuales de y (ya que ambos lados son iguales a cero), se debe mantener para cualquier subconjunto medible B del dominio de Y que:

 \int_B \operatorname{E} (X | Y=y) \operatorname{P}(Y=y) \ \operatorname{d}y = \int_B \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}(X=x,Y=y) \ \operatorname{d}y.

De hecho, esta es una condición suficiente para definir tanto la expectativa condicional y probabilidad condicional.

Definición formal[editar]

Sea \scriptstyle (\Omega, \mathcal {F}, \operatorname {P} ) un espacio de probabilidad , con una variable aleatoria \scriptstyle X:\Omega \to \mathbb{R}^n y un sub-σ-algebra \scriptstyle \mathcal {H} \subseteq \mathcal {F} .

A continuación, una esperanza condicional de X dado \scriptstyle \mathcal {H} (Denotado como \scriptstyle \operatorname{E}\left[X|\mathcal {H} \right]. Es cualquier \scriptstyle \mathcal {H} -Función medible (\Omega \to \mathbb{R}^n) Que satisface:

 \int_H \operatorname{E}\left[X|\mathcal {H} \right] (\omega) \ \operatorname{d} \operatorname{P}(\omega) = \int_H X(\omega) \ \operatorname{d} \operatorname{P}(\omega)  \qquad \text{for each} \quad H \in \mathcal {H} .[1]

Tenga en cuenta que \scriptstyle \operatorname{E}\left[X|\mathcal {H} \right] es simplemente el nombre de la función esperanza condicional.

Debate[editar]

Un par de puntos que vale la pena señalar acerca de la definición:

Esta no es una definición constructiva, estamos simplemente da la propiedad necesaria de que una esperanza condicional debe cumplir. La propiedad requerida tiene la misma forma como la última expresión en la sección Introducción. Existencia de una función expectativa condicional se determina por el teorema de Radon-Nikodym , una condición suficiente es que existe la (incondicional) valor esperado para X. Singularidad puede demostrarse que es casi seguro , es decir, versiones de la misma esperanza condicional sólo difieren en un conjunto de probabilidad cero .

  • La σ-álgebra \scriptstyle \mathcal {H} controla la "granularidad" de los condicionamientos. Una expectativa condicional \scriptstyle{E}\left[X|\mathcal {H} \right] sobre una σ-álgebra de grano fino \scriptstyle \mathcal {H} nos permitirá condicionamos en una variedad más amplia de los acontecimientos.

Para acondicionar libremente en los valores de una variable aleatoria con espacio de estados \scriptstyle (\mathcal Y, \Sigma) , Es suficiente para definir la expectativa condicional utilizando la imagen previa de Σ con respecto a Y, de manera que \scriptstyle \operatorname{E}\left[X| Y\right] se define como \scriptstyle \operatorname{E}\left[X|\mathcal {H} \right] , En donde

 \mathcal {H} = \sigma(Y):= Y^{-1}\left(\Sigma\right):= \{Y^{-1}(S) : S \in \Sigma \}

Esto es suficiente para asegurar que la expectativa condicional es σ (Y)-medible. Aunque esperanza condicional se define para condicionar los acontecimientos en el subyacente Ω espacio de probabilidad, el requisito de que sea σ (Y)-medible nos permite condicionamos sobre Y como en la introducción.

Referencias[editar]