Escalar de curvatura de Ricci

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En matemáticas, la curvatura escalar de una superficie es el doble de la familiar curvatura gaussiana. Para las variedades riemannianas de dimensión más alta (n > 2), es el doble de la suma de todas las curvaturas seccionales a lo largo de todos los 2-planos atravesados por un cierto marco ortonormal. Matemáticamente, la curvatura escalar o escalar de curvatura, que suele designarse con las letras R o S, coincide también la traza total de la curvatura de Ricci así como del tensor de curvatura.

Expresión en componentes[editar]

El escalar de curvatura de Ricci R puede expresarse fácilmente en términos del tensor métrico g_{\mu\nu}(y sus primeras derivadas ) que define la geometría de la superficie o variedad riemanniana cuyo escalar de curvatura pretendemos encontrar, usando el convenio de sumación de Einstein:

R = -g^{\mu\nu}\left[\Gamma_{\mu\nu}^\lambda \Gamma_{\lambda\sigma}^\sigma -
\Gamma_{\mu\sigma}^\lambda \Gamma_{\nu\lambda}^\sigma \right]-\part_\nu\left[g^{\mu\nu} \Gamma^\sigma_{\mu\sigma} -g^{\mu\sigma} \Gamma^\nu_{\mu\sigma} \right]

Donde los símbolos de Christoffel que aparecen en la expresión anterior se calculan a partir de las primeras derivadas de los componentes del tensor métrico:

\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)

Bibliografía[editar]

  • Lee, J. M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X.
  • Wald, R. M. General Relativity, University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2.