Entero de Eisenstein

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Enteros de Eisenstein como puntos de intersección de una retícula triangular en el plano complejo.

En matemáticas, los enteros de Eisenstein, llamados así por Ferdinand Eisenstein, son números complejos de la forma

z = a + b\,\omega

donde a y b son números enteros y

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

es una raíz cúbica de la unidad compleja.

Propiedades[editar]

Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el cuerpo de los números algebraicos Q(√−3). También forman un dominio euclidiano.

Para ver que los enteros de Eisenstein son enteros algebraicos nótese que cada z = a + bω es una raíz del polinomio mónico

z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2).

En particular, ω satisface la ecuación

\omega^2 + \omega + 1 = 0.

Si x e y son enteros de Eisenstein, diremos que x divide a y si existe algún entero de Eisenstein z tal que

y = z x.

Esto extiende la noción de divisibilidad para los enteros ordinarios. Por lo tanto, podremos también extender la noción de primalidad; un entero de Eisenstein x será un primo de Eisenstein si sus únicos divisores son

\pm x, \pm\omega x, \pm\omega^2 x, \pm1, \pm\omega, \pm\omega^2

—excepto por que no consideraremos ±1, ±ω o ±ω² en sí mismos como primos de Eisenstein — son unidades en el anillo de los enteros.

Relación con los primos de forma x² − xy + y²[editar]

Puede demostrarse que un primo de la forma  x^2 - xy + y^2 puede ser factorizado en  (x + \omega y)(x + \omega^2 y) y por lo tanto no es primo entre los enteros de Eisenstein. Nótese también que un número de la forma x² − xy + y² es primo si y solo si x + ωy es un primo de Eisenstein.

Dominio euclidiano[editar]

El anillo de los enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma v es

 v(a + \omega b) = a^2 - a b + b^2.

Esto puede derivarse embebiendo los enteros de Eisenstein en los complejos: puesto que

 v(a + i b) = a^2 + b^2

y puesto que

 a + \omega b = \left( a - {1\over 2}b\right) + i {\sqrt{3}\over 2} b

se deduce que

 v(a + \omega b) = \left( a - {1\over 2}b\right)^2 + {3\over 4} b^2
 = a^2 - a b + {1\over 4}b^2 + {3\over 4}b^2 = a^2 - a b + b^2.

Véase también[editar]

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