Energía de Willmore

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

La energía de Willmore en geometría diferencial es una medida cuantitativa de como una superficie dada se desvia de la curvatura de una esfera. En términos puramente matemáticos la energía de Willmore es una superficie cerrada suave en un espacio euclídeo tridimensional. Se define como la integral del cuadrado de la curvatura media menos la curvatura de Gauss. Se denomina así en honor del geómetra Thomas Willmore.[1]

Definición[editar]

Al integrar la curvativa de Gauss sobre una superficie, tal y como se enuncia en el teorema de Gauss-Bonet su resultado es una constante topológica de la superficie, y su valor depende del genus de la superficie, no de su forma. Sin embargo, el cómputo de la integral de la diferencia existente entre el cuadrado de la curvatura media y la curvatura de Gauss. Indicado como S nos muestra la denominada energía de Willmore:

 \mathcal{W} = \int_S H^2 \, dA - \int_S K \, dA

donde H es la curvatura media, K es la curvatura gausiana y dA es el area diferencial de S. Para una superficie cerrada, mediante el teorema de Gauss–Bonnet, la integral de la curvatura gaussiana se calcula en término de su característica de Euler \chi(S) de la superficie, de esta forma

 \int_S K \, dA = 2 \pi \chi(S),

lo que arroja que es un invariante topológico y por lo tanto independiente de la superficie enbebida en \mathbb{R}^3. Por lo tanto la energía de Willmore puede ser expresada como

 \mathcal{W} = \int_S H^2 \, dA - 2 \pi \chi(S)

Una forma alternativa, y equivalente, es

 \mathcal{W} = {1 \over 4} \int_S (k_1 - k_2)^2 \, dA

donde k_1 y k_2 son las curvaturas principales de la superficie.

Referencias[editar]

  1. T. Willmore, (1971), Mean curvature of Riemannian immersions, J. London Math. Society , 11:307-310

Véase también[editar]