Emparejamiento

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El concepto de emparejamiento aquí tratado es referente al campo de las matemáticas, específicamente al álgebra lineal. Con aplicaciones prácticas en el área de la criptografía.

Definición[editar]

Sea R un anillo comutativo más la unidad, y sean M, N y L tres R-módulos.

Un emparejamiento es cualquier mapa bilinear R e:M \times N \to L. Que satisfaga:e(rm,n)=e(m,rn)=re(m,n)

para cualquier r \in R. O equivalentemente, un emparejamiento es un mapa linear R: M \otimes_R N \to L

donde M \otimes_R N denota el producto tensorial de M y N.

Un emparejamiento también puede ser considerado como un mapa linear R \Phi : M \to \operatorname{Hom}_{R} (N, L) , que satisfaga la primera definición y establezca \Phi (m) (n) := e(m,n) .

Un emparejamiento es llamado no degenerativo si para el mismo mapa se tiene que  e(m,n) = 1 para todo valor de m y  n=0 .

Ejemplos[editar]

Cualquier producto escalar en un espacio vectorial V real es un emparejamiento (sean M = N = V, R = R en las definiciones anteriores).

El mapa determinante (matriz 2 × 2 en k)  \to k se puede considerar como un emparejamiento k^2 \times k^2 \to k.

El mapa de Hopf S^3 \to S^2 definido como h:S^2 \times S^2 \to S^2 es un ejemplo de un emparejamiento. En,[1] Hardie et al. presentan una construcción explícita de este tipo de mapas utilizando conjuntos parcialmente ordenados.

Emparejamientos criptográficos[editar]

El cómputo de los emparejamientos criptográficos utiliza dos grupos,  G_1 y  G_2 . Estos dos grupos son finitos, cícilos y aditivamente formulados en donde al menos uno de estos grupos tiene orden primo, denotado como r. El emparejamiento toma un elemento de cada uno de los dos grupos y los mapa hacia un tercero G_T, el cual es finito, cíclico, pero formulado multiplicativamente, también de order primo r. Un emparejamiento criptográfico útil satisface las siguientes propiedades:

  • Bilineariedad:
    •  \forall P, P \in G_1 y \forall Q, Q \in G_2, se tiene que: e(P + P , Q) = e(P, Q)\times  e(P , Q) y e(P, Q + Q ) = e(P, Q)\times e(P, Q )
  • No degeneración:
    • \forall P \in G_1 con  P \ne 0, existe Q \in G_2 tal que e(P, Q) \ne 1.
    • \forall Q \in G_2 con  Q \ne 0, existe P \in G_1 tal que e(P, Q) \ne 1.
  • Computable:
    • e puede ser fácilmente calculado.

Los mejores métodos para calcular los emparejamientos criptográficos están basados en el algoritmo de Miller. Este método está estandarizado de facto y su mejoramiento tanto en el bucle principal como en la llamada exponenciación final es tema actual de investigación. [cita requerida]

Referencias[editar]

  1. A nontrivial pairing of finite T0 spaces Authors: Hardie K.A.1; Vermeulen J.J.C.; Witbooi P.J. Fuente: Topology and its Applications, Volumen 125, Número 3, 20 de noviembre de 2002 , pp. 533-542(10)

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