Empaquetamiento de círculos

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La vía más eficiente de empaquetar juntos círculos de diferentes tamaños no es obvia.

En geometría, el empaquetamiento de círculos se refiere al estudio del arreglo de círculos de tamaños iguales o diversos en una superficie, de tal manera que no ocurran solapamientos y de modo que todos los círculos se toquen entre sí. La "densidad de empaquetado" asociada, η de un arreglo es la proporción de la superficie cubierta por los círculos. Se pueden hacer generalizaciones a dimensiones más altas - esto se llama empaquetamiento de esferas, que generalmente trata solo con esferas idénticas.

La rama de las matemáticas conocida generalmente como "empaquetamiento de círculos", sin embargo, no se refiere excesivamente al empaquetado denso de círculos de igual tamaño (el empaquetado más denso es conocido) sino a la geometría y a la combinatoria del empaquetado de círculos de tamaño arbitrario: éstos dan lugar a los análogos discretos de la transformación conforme, superficies de Riemann y similares.

Mientras que el círculo tiene una densidad máxima de empaquetado relativamente baja, ésta no tiene la más baja posible. La "peor" forma a empaquetar sobre un plano no es conocida, pero el octágono alisado tiene la más pequeña máxima densidad de empaquetado actualmente conocida.[1]

Empaquetado en el plano[editar]

Los centros de tres círculos en contacto forman un triángulo equilátero, lo que genera un empaquetamiento hexagonal.
Círculos idénticos en un arreglo de empaquetamiento hexagonal, el empaquetamiento más denso posible.

En un espacio euclidiano de dos dimensiones, Carl Friedrich Gauss demostró que el arreglo regular de círculos con mayor densidad es es el empaquetamiento hexagonal, en el cual los centros de los círculos están arreglados en una retícula hexagonal (dispuestas como en una colmena de abejas), y en la que cada círculo está rodeado de otros seis. La densidad de este empaquetamiennto es:

\eta_h = \frac{\pi}{\sqrt{12}} \approx 0.9069.

En 1940 Axel Thue demostró que el retículo hexagonal es el más denso de todos los posibles empaquetamientos de círculos, tanto regulares como irregulares.

En el otro extremo, han sido identificados arreglos de muy baja densidad de empaquetado rígido de círculos.

Empaquetado en la esfera[editar]

Un problema relacionado es determinar el arreglo de baja energía de puntos interactuando idénticamente que están restringidos a descansar en una superficie dada. El problema de Thomson se ocupa de la más baja distribución de energía de cargas eléctricas idénticas en la superficie de una esfera. El problema de Tammes es una generalización de esto, ocupándose de maximizar la distancia mínima entre círculos en una esfera. Esto es análogo a distribuir cargas no puntuales en una esfera.

Empaquetado en áreas limitadas[editar]

Quince círculos iguales empaquetados dentro del cuadrado más ṕequeño posible. Solo cuatro triángulos equiláteros son formados por círculos adyacentes.

Empaquetando círculos en formas simples limitadas es un tipo común de problema en matemáticas recreativas. Es importante la influencia de las paredes del contenedor, y el empaquetado hexagonal generalmente no es óptimo para una pequeña cantidad de círculos.

Círculos desiguales[editar]

Un empaquetado de círculo binario compacto con los círculos de más similar tamaño posible.

Hay también un rango de problemas que permitan que los tamaños de los círculos no sean uniformes. Una de tales extensiones es encontrar la máxima posible densidad de un sistema con dos tamaños específicos de círculos (un sistema binario). Solamente nueve cocientes particulares de radio permiten el embalaje compacto, que es cuando cada par de círculos en contacto está en contacto mutuo con otros dos círculos (cuando segmentos de línea son trazados desde el centro del círculo en contacto al centro del círculo, ellos triangulizan la superficie).[2]

Bibliografía[editar]

  • Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. pp. 30–31, 167. ISBN 0-14-011813-6. 

Referencias[editar]

Véase también[editar]