El contador de arena

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El contador de arena (en griego: Αρχιμήδης Ψαμμίτμς, Arquímedes Psammites) es una obra de Arquímedes en la que el autor intenta establecer un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el universo. Para hacer esto tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo vigente en ese momento, y, además, inventar una manera de hablar de números muy grandes.

Este trabajo de Arquímedes es también conocido en latín como Archimedis Syracusani arenarius y circuli Dimensio, y se trata de ocho páginas traducidas de la obra, en donde se dirige al siracusano Rey Gelo II (hijo del Rey Hieron II). Incluso, es probablemente la obra más accesible de Arquímedes y, en algunos sentidos, es la primera investigación científica en papel.[1]

Nombrando números grandes[editar]

El primer paso de Arquímedes fue inventar un sistema para nombrar números grandes. El sistema de numeración en uso en aquel entonces podía expresar números hasta una miríada (en griego antiguo: μυριάς, que equivale a 10.000 unidades), y mediante el uso de la palabra "miríada" hacia sí misma de inmediato se puede extender esta denominación hasta una miríada de miríadas (108). Arquímedes, pues, llamó a los números hasta 108 los "Números primeros"; y al 108 lo llamó la "unidad de los números de segunda". Los múltiplos de esta unidad se convirtieron en los "Números segundos", hasta llegar a otra miríada de miríada. Es decir, 108•108= 1016. Este número nombrado anteriormente se convirtió en la "unidad de los números de terceros", cuyos múltiplos son los números de tercera, y así sucesivamente. Arquímedes siguió nombrado a los números de esta manera hasta llegar al (10^8)^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^8}.

Después de haber hecho esto, Arquímedes llamó a los números que había definido los "Números del primer período", y llamó al último, (10^8)^{(10^8)}, la "unidad del segundo período". De esta manera, Arquímedes construyó los "Números del segundo período", tomando múltiplos de esta unidad de una forma análoga a la forma en la que los "Números del primer período" se construyeron. Continuando de esta manera, con el tiempo llegó a los "Números del período de miríadas de miríadas". El mayor número nombrado por Arquímedes fue el último número de este período, que es: \left((10^8)^{(10^8)}\right)^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^{16}}.

Otra forma de escribir este número es un uno (1) seguido de (en escala corta) ochenta mil billones de ceros (80.1015). El sistema de Arquímedes es una reminiscencia a un sistema de numeración posicional con base 108, lo que es notable, ya que los antiguos griegos usaron un muy sencillo sistema para escribir los números, que emplea las 27 letras de su alfabeto para las unidades del 1 al 9, las decenas del 10 al 90, y las centenas del 100 al 900.

Arquímedes también descubrió y demostró la ley de los exponentes, en donde 10a · 10b= 10a+b; lo que es necesario para demostrar las potencias de 10.

Estimación del tamaño del universo[editar]

Arquímedes calculó un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el universo. Para esto, utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos (este trabajo de Aristarco se ha perdido, El contador de arena, de Arquímedes, es una de las pocas referencias que sobreviven a su teoría[2] ). La razón para el gran tamaño de este modelo es que los griegos no pudieron observar el paralaje estelar con las técnicas disponibles, lo que implica que cualquier paralaje fue extremadamente sutil y, por lo tanto, las estrellas debieron colocarse a grandes distancias de la tierra (asumiendo al heliocentrismo para ser verdad).

Según Arquímedes, Aristarco no dijo cuán lejos estaban las estrellas de la tierra, por lo que Arquímedes asume que el universo es esférico y que la relación entre el diámetro del universo con el diámetro de la órbita de la tierra alrededor del sol es igualado a la relación entre el diámetro de la órbita de la tierra alrededor del sol y el diámetro de la tierra. Esta suposición también puede expresarse diciendo que el paralaje estelar causado por el movimiento de la tierra alrededor de su órbita es igual al paralaje solar causado por el movimiento alrededor de la tierra.

Conclusiones[editar]

Así pues, Arquímedes utilizó una sobreestimación de sus datos al asumir:

  • que el perímetro de la tierra no era más grande que 300 miríadas de estadios (lo que es igual a 5·105km);
  • que la luna no era más grande que la tierra, y que el sol no era más que treinta veces más grande que la luna;
  • que el diámetro angular del sol, visto desde la tierra, era mayor que 1/200 de un ángulo recto.

De este modo, Arquímedes calcula que el diámetro del universo no era más que 1014 estadios (en unidades modernas, unos 2 años luz), y que, por lo tanto, no requeriría más de 1063 granos de arena para llenarlo.

Arquímedes también hizo algunos experimentos interesantes y cálculos en el camino. Uno de los experimentos consistió en estimar el tamaño angular del sol visto desde la tierra. El método que Arquímedes emplea es especialmente interesante, ya que toma en cuenta el tamaño finito de la pupila del ojo[3] y, por lo tanto, puede ser el primer ejemplo conocido de la experimentación en la psicofísica, la rama de la psicología que se ocupa de la mecánica de la percepción humana, cuyo desarrollo generalmente se atribuye a Hermann_von_Helmholtz. Otro cálculo interesante es aquel utilizado para calcular el paralaje solar y las diferentes distancias entre el espectador y el sol, ya sea desde el centro de la tierra o de la superficie de la tierra al amanecer. Este puede ser el primer cálculo conocido en tratar con el paralaje estelar.[1]

Extracto[editar]

Existen algunos, Rey Gelón, que creen que el número de granos de arena es infinito en multitud; y cuando me refiero a la arena me refiero no sólo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia sino también la que se puede encontrar en cualquier región, ya sea habitada o deshabitada. Una vez más, hay algunos que, sin considerarlo como infinito, creen que ningún número ha sido nombrado que sea lo suficientemente grande como para superar tal magnitud. Y, está claro que, los que sostienen esta opinión, si se imaginaron una masa formada por arena tan grande como la masa de la tierra, incluyendo todos los mares y los huecos de la tierra hasta llenarlos a una altura igual a la de la más alta de las montañas, sería ir mucho más lejos aún del reconocimiento de que cualquier número que pueda expresarlo fue superado por la multitud de arena para tomar.
Pero voy a tratar de mostrar, por medio de demostraciones geométricas que usted será capaz de seguir que, de los números nombrados por mí y, teniendo en cuenta el trabajo que he enviado a Zeuxipo, algunos superan no sólo el número de la masa de arena de igual magnitud que la tierra llenada en la manera descrita, sino también la de la masa de igual magnitud que la del universo[4]

Arquímedes (Archimes Syracusani arenarius y circuli Dimensio)

Referencias[editar]

  1. a b Ilan Vardi. «Archimedes, The San Recokner» (en inglés). Consultado el 29 de noviembre del 2011.
  2. MacTutor. «Biografía de Aristarco» (en inglés). Consultado el 29 de noviembre del 2011.
  3. Smitgh, William - A dictionary of greek and roman biography and mythology (1880) - p.272.
  4. Newman, James R. - The world of mathematics (2000) - p.420

Enlaces externos[editar]