Ecuación de Schrödinger-Pauli

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La ecuación de Pauli, o ecuación de Schrödinger-Pauli, es una generalización o reformulzación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín 1/2 que tiene en cuenta la interacción entre el espín y el campo electromagnético. Esta ecuación es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y puede usarse para describir electrones que para los cuales los efectos relativistas de la velocidad pueden despreciarse.

La ecuación de Pauli fue propuesta originalmente por Wolfgang Pauli en 1927.[1]

Forma de la ecuación[editar]

La ecuación de Pauli tiene la forma:

(1)\left[ \frac{1}{2m}(\hat{\boldsymbol{\sigma}}\cdot(\hat{\mathbf{p}} - e \mathbf{A}))^2 + eV \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\part}{\part t} |\psi\rangle

donde:

Forma alternativa[editar]

Si se usan la propiedades de las matrices de Pauli se demuestra fácilmente la siguiente igualdad:[2]


\left[ \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \left( \hat{\mathbf{p}} -\frac{e}{c} \mathbf{A} \right)\right]^2
= \left( \hat{\mathbf{p}} -\frac{e}{c} \mathbf{A} \right)^2 + i \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot
\left( \hat{\mathbf{p}} -\frac{e}{c} \mathbf{A} \right) \times
\left( \hat{\mathbf{p}} -\frac{e}{c} \mathbf{A} \right)

Y como:

 \left( \hat{\mathbf{p}} -\frac{e}{c} \mathbf{A} \right) \times
\left( \hat{\mathbf{p}} -\frac{e}{c} \mathbf{A} \right) = -\frac{e}{c} (
\hat{\mathbf{p}} \times \mathbf{A} + \mathbf{A} \times \hat{\mathbf{p}}) =
-\frac{e}{c} (-i\hbar\boldsymbol\nabla \times \mathbf{A}) = -\frac{i\hbar e}{c} \mathbf{B}

La ecuación (1) puede reescribirse en la forma:

(2)\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}} - e \mathbf{A})^2|\psi\rangle +
\left(eV+ \frac{\hbar e}{2mc} \mathbf{B}\cdot \hat{\boldsymbol{\sigma}} \right) |\psi\rangle =
i \hbar \frac{\part}{\part t} |\psi\rangle

Derivación histórica[editar]

La derivación histórica de la ecuación se hizo siguiendo principios formales no muy diferentes del principio de acoplamiento mínimo usado posteriormente en la teoría cuántica de campos.

Densidad de probabilidad[editar]

La ecuación de Pauli para el espinor de Pauli formado por dos componentes, cada uno con un significado similar a la función de onda. De hecho, en ausencia de campo la ecuación de Pauli se reduce a una ecuación de Schrödinger "doble", es decir, cada cada una de las dos componentes del espinor satisface independiente la ecuación de Schrödinger.

La densidad de probabilidad conjunta viene dada por las reglas usuales de la mecánica cuántica:

\rho(\mathbf{x}) = \langle \psi^\dagger| \psi \rangle =
\begin{pmatrix} \psi_0^* & \psi_1^* \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} = \psi_0^*\psi_0 + \psi_1^*\psi_1

E igualmente puede probarse que el valor esperado para los operadores de espín viene dado:


\langle \hat{S}_z \rangle = \frac{\hbar}{2} \int_{\R^3} (\psi_0^*\psi_1 + \psi_1^*\psi_0)dV, \qquad 
\langle \hat{S}_x \rangle = \frac{\hbar}{2} \int_{\R^3} (\psi_0^*\psi_0 - \psi_1^*\psi_1)dV

Referencia[editar]

  1. Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623
  2. L. De la Peña, p. 523.

Bibliografía[editar]

  • de la Peña, Luis (2006). «15». Introducción a la mecánica cuántica (3 edición). México DF: Fondo de Cultura Económica. pp. 519–523. ISBN 968-16-7856-7.