Ecuación de Sackur-Tetrode

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La ecuación de Sackur-Tetrode es una expresión para la entropía de un gas ideal clásico y monatómico que incorpora consideraciones cuánticas que dan una descripción más detallada de su régimen de validez.

La ecuación de Sackur–Tetrode recibe su nombre en honor de Hugo Martin Tetrode[1] (1895–1931) y Otto Sackur[2] (1880–1914), quienes la desarrollaron al mismo tiempo de forma independiente en 1912, como una solución a la estadística de Boltzmann de un gas y a las ecuaciones de entropía.

Fórmula[editar]

La ecuación de Sackur–Tetrode se puede escribir como


S = k N \ln
\left[ \left(\frac VN\right)  \left(\frac UN \right)^{\frac 32}\right]+
{\frac 32}kN\left( {\frac 53}+ \ln\frac{4\pi m}{3h^2}\right)

donde V es el volumen del gas, N es el número de partículas en el gas, U es la energía interna del gas, k es la constante de Boltzmann, m es la masa una partícula del gas, h es la constante de Planck y ln() es el logaritmo natural.

La ecuación de Sackur-Tetrode puede ser expresada convenientemente en términos de la longitud de onda térmica, Λ.


\frac{S}{kN} = \ln\left[\frac{V}{N\Lambda^3}\right]+\frac{5}{2}.

Nótese que se ha hecho la suposición de que el gas se encuentra en el régimen clásico y que se encuentra descrito por la estadística de Maxwell-Boltzmann (con el "conteo de Boltzmann corregido"). De la definición de la longitud de onda térmica, esto significa que la ecuación de Sackur-Tetrode es válida solamente para

\frac{V}{N\Lambda^3}\gg 1.

De hecho, la entropía predicha por esta ecuación tiende a menos infinito conforme la temperatura tiende a cero.

Constante de Sackur-Tetrode[editar]

La constante de Sackur-Tetrode, escrita como S0/R, es igual a S/kN evaluada a una temperatura de T = 1 K, a presión estándar (100 kPa o 101,325 kPa), para un mol de gas ideal compuesto de partículas de masa igual a una unidad de masa atómica (mu = 1.660 538 782(83)×10−27 kg). Su valor recomendado por CODATA en 2010 es:[3]

\frac{S_0}{R} = -1,151\ 7078(23)\text{ para } p^\ominus = 100\text{ kPa};
\frac{S_0}{R} = -1,164\ 8708(23)\text{ para } p^\ominus = 101,325\text{ kPa}.

Interpretación de la ecuación a través de la teoría de la información[editar]

Además de usar la perspectiva termodinámica de la entropía, se puede usar las herramientas de la teoría de la información para obtener una perspectiva de la entropía desde el punto de vista de la información. El químico físico Arieh Ben-Naim reformuló la ecuación de Sackur–Tetrode para la entropía en términos de la teoría de la información, y al hacer esto, se basó en conceptos muy conocidos de la física moderna. Ben-Naim demostró que la ecuación consiste en la suma de cuatro entropías (información faltante), debido a la incertidumbre en la posición, en el momento, el principio de incertidumbre y la indistinguibilidad de las partículas.[4]

Incluyendo a k, la ecuación de Sackur–Tetrode está dada como:


\frac{S}{k} = \left[ N\ln V\right] + \left[\frac 32 N\ln\left(2\pi e m k T\right)\right] + \left[ -3N\ln h\right] + \left[-\ln N! \right]
  \approx N \ln \left[\frac{V}{N} \left(\frac{2\pi m k T}{h^2}\right)^{\frac 32}\right]  +  \frac 52 N

La derivación utiliza la aproximación de Stirling:

\ln N! \approx N \ln N - N.

Referencias[editar]

  1. H. Tetrode (1912) "Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum" (The chemical constant of gases and the elementary quantum of action), Annalen der Physik 38: 434 - 442. See also: H. Tetrode (1912) "Berichtigung zu meiner Arbeit: "Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum" " (Correction to my work: "The chemical constant of gases and the elementary quantum of action"), Annalen der Physik 39: 255 - 256.
  2. Sackur publicó sus descubrimientos en los siguientes artículos:
    1. O. Sackur (1911) "Die Anwendung der kinetischen Theorie der Gase auf chemische Probleme" (The application of the kinetic theory of gases to chemical problems), Annalen der Physik, 36: 958 - 980.
    2. O. Sackur, "Die Bedeutung des elementaren Wirkungsquantums für die Gastheorie und die Berechnung der chemischen Konstanten" (The significance of the elementary quantum of action to gas theory and the calculation of the chemical constant), Festschrift W. Nernst zu seinem 25jährigen Doktorjubiläum gewidmet von seinen Schülern (Halle an der Salle, Germany: Wilhelm Knapp, 1912), pages 405 - 423.
    3. O. Sackur (1913) "Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums" (The universal significance of the so-called elementary quantum of action), Annalen der Physik 40: 67 - 86.
  3. CODATA2010
  4. Ben-Naim, Arieh (2008). A Farewell to Entropy: Statistical Thermodynamics Based on Information. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-270-706-2. Consultado el 28 de noviembre de 2009. 

Enlaces externos[editar]