Ecuación de Kardar–Parisi–Zhang

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La ecuación KPZ (por las inicales de sus creadores, Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) es una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales y no lineal. Describe la variación temporal del grosor \phi(\vec x,t) de una lámina. Es un buen modelo de crecimiento de superficies. Viene dada por la expresión:

\frac{\partial \phi(\vec x,t)}{\partial t} = \nu\nabla^2 \phi + \frac{\lambda}{2} \left[\nabla \phi\right]^2 + \eta(\vec x,t) \;

donde \eta(\vec x,t) es un ruido gaussiano blanco con primer segundo momentos:

\langle \eta(\vec x,t) \rangle = 0 \qquad\mathtt{y}\qquad \langle \eta(\vec x,t) \eta(\vec x',t') \rangle = 2D\delta^d(\vec x-\vec x')\delta(t-t')

donde \nu, \lambda y D son parámetros del modelo; d es la dimensión de la lámina y es un concepto bastante importante en la resolución de la ecuación y afecta al tipo de solución. En concreto:

  1. si d<2 la ecuación tiene una sola fase "áspera" en la que las fluctuaciones de \phi divergen algebráicamente con el tamaño del sistema, desestabilizando cualquier comportamiento estudiado;
  2. si d>2 la ecuación presenta una "fase fluida" —un acoplamiento débil— para \lambda lo suficientemente pequeña. En esta fase, las fluctuaciones son pequeñas y el comportamiento es coherente globalmente. El estudio de las correlaciones espaciales y temporales arroja que:

\langle \phi(x_1,t)\phi(x_2,t)\rangle\sim\frac{1}{r^{d-2}}\qquad\mathtt{y}\qquad \langle \phi(x,t_1)\phi(x,t_2)\rangle\sim\frac{1}{t^{\frac{d-2}{2}}}

Referencias[editar]

  • Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Yi-Cheng Zhang, Dynamic Scaling of Growing Interfaces, Physical Review Letters, Vol. 56, 889 - 892 (1986). APS
  • A.-L.Barabási and H.E.Stanley, Fractal concepts in surface growth (Cambridge University Press, 1995)