Ecuación constitutiva

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Una ecuación constitutiva es una relación entre las variables termodinámicas o mecánicas de un sistema físico: presión, volumen, tensión, deformación, temperatura, densidad, entropía, etc. Cada material o substancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación sólo depende de la organización molecular interna.

En mecánica de sólidos y en ingeniería estructural, las ecuaciones constitutivas son igualdades que relacionan el campo de tensiones con la deformación, usualmente dichas ecuaciones relacionan componentes de los tensores tensión, deformación y velocidad de deformación. Para un material elástico lineal la ecuación constitutiva se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke o más simplemente ley de Hooke.

También más generalmente en física se usa el término ecuación constitutiva para cualquier relación entre magnitudes tensoriales, que no es derivable de leyes de conservación u otro tipo de leyes universales y que son específicas del tipo de problema estudiado.

Ejemplos[editar]

Medios continuos y termodinámica[editar]

La primera ecuación constituvia (ley constitutiva) fue desarrollada por Robert Hooke y actualmente se conoce como ley de Hooke. Esta ecuación trata el caso de elasticidad lineal. Siguiendo a este trabajo, se han usado frecuentemente los términos "relación tensión-deformación", "asunción constitutiva" o "ecuación de estado". Walter Noll desarrolló un importante trabajo sobre ecuaciones constitutivas, clarificando su clasificación y el papel de los requisitos de invariancia, restricciones y definiciones de términos como "material", "isótropo", "aelotrópico", etc. La clase de ecuaciones constitutivas de la forma "derivada temporal de la tensión = f (gradiente de velocidad, tensión, densidad)" fue el objeto de la tesis doctoroal de Walter Noll de 1954 bajo la dirección de Clifford Truesdell.[1] Algunos ejemplos de ecuaciones constitutivas usales en el campo de los medios continuos y la termodinámica son:

\sigma = E\varepsilon \quad [\Rightarrow F=-k x]\, (caso unidimensional)
 \sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl} (caso general)
 \sigma_{ij} = \alpha(\iota_\varepsilon)\delta_{ij} + \beta_{ijkl}(\iota_\varepsilon)\varepsilon_{kl} + \gamma_{ijkl}(\iota_\varepsilon)\sum_m{\varepsilon_{km} \varepsilon_{ml}} \,
\tau_{\ \lVert} = \mu \left(\frac {\partial u}{\partial y}\right)_\bot \qquad
\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)

Electromagnetismo[editar]

 {V \over I} = R \, (caso isótropo)
 J_j = \sigma_{ij} E_i \, (caso general)
P_j =  \epsilon_0 \chi_{ij} E_i \,
D_j =  \epsilon_{ij} E_i \,
M_j =  \mu_0 \chi_{m,ij} H_i \,
B_j =  \mu_{ij} H_i \,

Fenómenos de transporte[editar]

 q=c_p T  \,
 p_j=- k_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_i} \,
 J_j=-D_{ij} \frac{\partial C}{\partial x_i} \,

Otros ejemplos[editar]

F_f =  F_p \mu_f  \,
D={1 \over 2}C_d \rho A v^2  \,

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. See Truesdell's account in Truesdell The naturalization and apotheosis of Walter Noll. See also Noll's account and the classic treatise by both authors: Clifford Truesdell & Walter Noll - Stuart S. Antman (editor) (2004). «Preface» (Originally published as Volume III/3 of the famous Encyclopedia of Physics in 1965). The Non-linear Field Theories of Mechanics (3rd edición). Springer. p. xiii. ISBN 3-540-02779-3. 
  2. a b Marsden y Hughes, 1982

Bibliografía[editar]