Equivalencia entre masa y energía

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Escultura de la ecuación en el Paseo de las Ideas, Alemania.

La equivalencia entre la masa y la energía dada por la expresión de la teoría de la relatividad de Einstein:

E = mc^2 \,\!

indica que la masa conlleva una cierta cantidad de energía aunque la primera se encuentre en reposo, concepto ausente en mecánica clásica; esto es, que la energía en reposo de un cuerpo es el producto de su masa por su factor de conversión (velocidad de la luz al cuadrado), o que cierta cantidad de energía de un objeto en reposo por unidad de su propia masa es equivalente a la velocidad de la luz al cuadrado:

E/m=c^2 \,\!
E/m=c^2= (299\ 792\ 458\quad \mbox{m/s})^2 =
89\ 875\ 517\ 873\ 681\ 764\quad \mbox{J/kg}

En la última fórmula la masa adquiere valor unitario como predeterminado de toda fracción, pudiendo adquirir, tanto la energía como la masa, diversos valores a única condición de que el resultado fuera la velocidad de la luz al cuadrado para que la equivalencia fuera correcta, esto dota la fórmula de cierta libertad de aplicación ya que es independiente de cualquier sistema de unidades, no obstante, actualmente se le aplica el sistema SI (en la fórmula anterior donde la velocidad de la luz se expresa en m/s, la energía en J y la masa en kg), aunque Einstein utilizara el CGS. En un Sistema de Unidades Naturales, c adquiere el valor 1 y la fórmula sería:

E = mc^2\quad ;\quad E = m\cdot 1^2 ;\,\!
E = m\,\!

Donde se establece una igualdad entre Energía y Masa sin factor de conversión aparente. En teoría, el factor de conversión debe seguir aplicándose aunque su repercusión en el resultado sea 0.

La ecuación de extender la ley de conservación de la energía a fenómenos como la desintegración radiactiva. La fórmula establece la relación de proporcionalidad directa entre la energía E (según la definición hamiltoniana) y la masa m, siendo la velocidad de la luzc elevada al cuadrado la constante de dicha proporcionalidad.

También indica la relación cuantitativa entre masa y energía en cualquier proceso en que una se transforma en la otra, como en una explosión nuclear. Entonces, E puede tomarse como la energía liberada cuando una cierta cantidad de masa m es desintegrada, o como la energía absorbida para crear esa misma cantidad de masa. En ambos casos, la energía (liberada o absorbida) es igual a la masa (destruida o creada) multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz.

Energía en reposo = Masa × (Constante de la luz)2

Interpretación geométrica espacio-temporal de la ecuación[editar]

La Relatividad, esencialmente, pretende explicar el curso de los procesos naturales a través de la geometría del espacio-tiempo, la cual impone una serie de restricciones que determinan el desarrollo de tales procesos. La geometría del espacio-tiempo no es la euclídea habitual (no se cumple el teorema de Pitágoras, por decirlo así), sino que es la geometría de Minkowski, cuyas reglas son diferentes. Las magnitudes físicas interesantes en Relatividad son las que poseen cuatro componentes, porque sabemos que el espacio-tiempo relativista tiene también cuatro dimensiones (tres espaciales y una temporal) temporales de un sistema de referencia cualquiera ligado a un observador. Las tres proyecciones de este vector 4-ímpetu sobre los ejes espaciales -hablando libremente- serían lo que clásicamente (en la mecánica de Newton) llamamos las tres componentes del impulso (o momento lineal).

Por otro lado, la proyección del vector 4-ímpetu sobre el eje del tiempo nos daría la masa-energía relativa (aquella que mide un observador que no está en reposo con respecto al objeto al cual asociamos ese vector 4-ímpetu). El módulo del vector 4-ímpetu (su "longitud" en el dibujo) se calcula mediante la regla que ponía en el anterior mensaje, y eso es la masa-energía propia (la que mediría un observador en reposo con respecto al objeto). Cuando ese objeto es un fotón no podemos medir directamente la masa-energía propia, solo calcularla, y resulta que siempre es cero (es una propiedad peculiar de los fotones). Pero no importa porque nosotros sólo podemos manejar con sentido físico medible la masa-energía relativa y las componentes del impulso.

La famosa ecuación es mostrada en Taipei 101 durante la celebración del año mundial de la física en 2005.

La ecuación, E=mc², válida en el contexto de la relatividad especial, se aplica a todos los objetos dentro un espacio-tiempo plano (o asintóticamente plano).

Cuando la ecuación se aplica a un objeto que no se encuentra en movimiento (lo cual significa que el objeto está siendo visto desde un punto de referencia en el cual el objeto se encuentra en reposo), tenemos la expresión E=mc², en el cual E y m son la energía y masa "propias" (gráficamente igual a la longitud del 4-vector antes mencionado). Por la identidad masa-energía, haciendo la velocidad de la luz igual a la unidad, tenemos E = m. Este mismo objeto podría encontrarse en movimiento desde otro marco de referencia, y para este sistema tendríamos una masa-energía relativa y además tres componentes del impulso.

Cabe notar que en la física moderna la masa y la energía pueden considerarse idénticas. Cualquier ecuación en la cual aparezcan dos magnitudes ligadas por una constante universal, puede interpretarse legítimamente como la identidad entre dichas magnitudes, ya que la constante universal puede igualarse a la unidad por un cambio de unidades. Esto es especialmente claro en el caso de la Relatividad.

Utilizando la masa relativista[editar]

En los ensayos de Einstein[1] la variable m representaba lo que ahora conocemos como masa relativista. Dicha masa se relaciona a la masa estacionaria, que es la masa de un objeto que se encuentra fijo desde el marco de referencia siendo utilizado. La masa relativista de un objeto cambia con la velocidad de un objeto, se incrementa a medida que la velocidad de un objeto incrementa desde el punto de vista utilizado, mientras que la masa estacionaria es una cantidad fija. Las dos masas se relacionan entre sí según la ecuación:

m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

Para obtener la ecuación de E = mc² se debe de modificar la ecuación E² = p²c² + m²c4 asignándole un valor de cero a p (p = 0) lo que significa que v también tiene que ser igual a cero (v = 0). Según se puede observar, el objeto esta fijo (su velocidad es de cero) y E² es igual a m²c4, o sea E = mc². E = mc² solo se aplica en este caso en particular, en el cual la masa no está en movimiento. Si la masa se encuentra en movimiento es necesario volver a insertar la multiplicación del cuadrado de las variables p y c en la ecuación (p²c²).

Si se le asigna un valor de cero a la variable v (v = 0) en la ecuación m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} , se dice que la masa no se encuentra en movimiento, y como resultado la masa relativista y la masa estacionaria tienen el mismo valor. En este caso la ecuación E = mc2 puede escribirse como E = m_0c^2. No existe ninguna diferencia entre esta ecuación y E = mc² con excepción, quizás, de que se podría decir que m_0 representa a v = 0.

Si se usa la masa relativista de un objeto se tiene que cambiar la ecuación original a E = mc^2 a E = m_0c^2 y esta no aplicaría a un objeto en movimiento ya que m_0 solo se aplica al caso en el cual v = 0 y cuando v es igual a cero, m = m_0.

Utilizando la masa en reposo[editar]

Los físicos modernos rara vez utilizan la masa relativista, porque conllevaría implicaciones espacio-temporales, razón por la cual m representa la masa en reposo y la variable E es la energía en reposo (la energía de un objeto que no se encuentra en movimiento) en la ecuación E = mc². La ecuación que se utiliza para los objetos que se encuentran en movimiento es

E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2

En la ecuación p = \gamma mv es el ímpetu del objeto. Esta ecuación se reduce a E = mc² en los casos en que un objeto se encuentra en reposo. Por motivos de claridad la variable m representará la masa relativista y m0 representará la masa en reposo en el resto del artículo.

Aproximación de baja energía[editar]

Dado el hecho que la energía en reposo es igual a m0c2, la energía total es igual a la suma de la energía cinética más la energía en reposo. La ecuación que genera el total de la energía cinética relativa es la siguiente:

 E_\mathrm{cinetica} = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{reposo} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2

A velocidades bajas esta ecuación debería de ser equivalente a la fórmula que se utiliza para obtener la energía cinética de un objeto:

 E_\mathrm{cinetica}= \frac{1}{2} m_0 v^2 .

Al expandir \gamma utilizando una serie de Taylor se puede demostrar que las dos ecuaciones concuerdan una con otra:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 .

Si se inserta esta fórmula a la ecuación original se obtiene el siguiente resultado:

 E_\mathrm{cinetica} \approx  \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2.

Como resultado se obtiene la expresión ½m0v² = Energía total - Energía en reposo que también se puede reorganizar para que Energía total = Energía en reposo + ½m0. Esta ecuación genera un conflicto con la física de Newton en la cual toda la energía se consideraba como energía cinética. Esta nueva ecuación demostró que la relatividad era una corrección a la mecánica clásica y que en un ambiente de baja energía o en un régimen clásico la física relativa y la física de Newton no son equivalentes la una con la otra. Aunque la fórmula para obtener el total de energía no es igual, la ecuación para obtener solamente la energía cinética de un objeto sí es la misma.

Einstein demostró que la física clásica estaba errada cuando trataba de explicar objetos masivos u objetos que viajan a velocidades muy elevadas. En el caso de los objetos más pequeños y lentos, los cuales fueron la base de la física clásica de Newton, la física clásica si es compatible con la física moderna.

Ensayo de Einstein de 1905[editar]

La ecuación, E = mc², no fue formulada exactamente en dicha forma en el ensayo de Albert Einstein publicado en 1905. Einstein tituló dicho ensayo "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("¿La inercia de un cuerpo depende de su contenido energético?", publicado en Annalen der Physik el 27 de septiembre). En la actualidad este ensayo se incluye en los ensayos de Einstein titulados colectivamente como los ensayos del annus mirabilis. La tesis del ensayo de 1905 fue: "Si un cuerpo genera energía, L, en la forma de radiación, su masa disminuye por L/c²." En este caso la radiación equivale a la energía cinética y el concepto de masa era el que en la física moderna equivale a la masa en reposo. La fórmula L/c² equivale a la diferencia de masa antes y después de la expulsión de energía; esta ecuación no representa la masa total de un objeto. Cuando Einstein publicó su ensayo esta fórmula era una hipótesis y todavía no se había probado a través de experimentos.


Uso en la cultura popular[editar]

Se utilizó esta célebre ecuación (E=mc2) como el título de una biografía de Albert Einstein que se transmitió por televisión en 2005. Dicho programa se enfocó principalmente en 1905.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Uno de esto experimentos: Einstein, Albert (30 de junio de 1905). «On the electrodynamics of moving bodies» (en iglés). Consultado el 20 de noviembre de 2012.

Bibliografía[editar]

  • Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.), W. H. Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.

Enlaces externos[editar]