Dualidad (matemáticas)

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En Matemáticas, una dualidad, generalmente hablando, traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, en una manera "uno a uno", a menudo (pero no siempre) por medio de una operación de involución: Si la dualidad de A es B, entonces la dualidad de B es A. Como a veces la involución tiene puntos fijos, la dualidad de A es a veces A (ella misma). Por ejemplo, el Teorema de Desargues en la geometría proyectiva es Dual a ella misma en este sentido.

En el contexto de las matemáticas, la dualidad posee numerosos significados, y aunque es "un concepto muy penetrante e importante en las matemáticas modernas"[1] y "un tema general importante que se ha manifestado en casi todas las áreas de las matemáticas",[2] no hay una sola definición universal aceptada que unifique todos los conceptos de dualidad.

Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a emparejamientos, funciones bilineales de un objeto de un tipo y otro objeto de un segundo tipo en alguna familia de escalares. Por ejemplo, la dualidad del álgebra lineal se corresponde de este modo con mapeos bilineales de pares de espacios vectoriales a escalares, la dualidad entre distribuciones y las funciones de prueba (Test Function)asociadas corresponde a los pares en el que uno integra una distribución contra una función de prueba, y la dualidad de poincaré corresponde de manera similar al número de intersecciones (Intersection number), visto como un emparejamiento entre subvariedades de una variedad determinada.

Orden Dual Inverso[editar]

Una forma particularmente sencilla de dualidad viene de la teoría del orden. La dualidad de un conjunto parcialmente ordenado P = (X, ≤) es el conjunto parcialmente ordenado Pd = (X, ≥). Comprende el mismo motivo previsto pero en una relación inversa. Ejemplos familiares de un orden dual parcial incluye

  • El subconjunto y superconjunto son relaciones \subset y \supset en cualquier colección de conjuntos,
  • Las divisiones y múltiplos de son relaciones de los enteros, y
  • Los descendientes de y antecesores de son relaciones en el conjunto de los humanos.

Un concepto definido para un orden parcial P corresponderá a un concepto dual de un conjunto parcialmente ordenado Pd. Por ejemplo, un elemento mínimo de P será un máximo elemento de Pd: mínimo y máximo son conceptos duales en la teoría del orden. Otros pares de conceptos duales son límites superior e inferior, el conjunto de inferiores y el conjunto de superiores, e ideales y filtros.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Kostrikin, 2001
  2. Gowers, 2008, p. 187, col. 1

Referencias[editar]

Referencias generales[editar]

Referencias específicas[editar]