Divisibilidad infinita (probabilidad)

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En la teoría de la probabilidad, se llaman funciones de distribución infinitamente divisibles a las funciones de distribución que satisfacen una extensión de la siguiente propiedad de la distribución normal: si X es una distribución normal de media  \mu y varianza \sigma^2 y n es un entero positivo, entonces

X \sim \sum_1^n X_i

donde Xi son variables aleatorias normales de media \mu/n y varianza \sigma^2/n.

Estas distribuciones aparecen de manera natural en diversos contextos como en el estudio de los límites de distribuciones.[1]

El concepto de divisibilidad infinita fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti.

Definición[editar]

Formalmente, una distribución de probabilidad F sobre la recta real es infinitamente divisible cuando para toda variable aleatoria X con dicha distribución y cada entero positivo n, existen n variables aleatorias i.i.d. X1, ..., Xn cuya suma tiene una distribución igual a la de X.

Ejemplos[editar]

Son infinitamente divisibles las distribuciones de: distribución de Poisson, distribución binomial negativa o de Pascal, distribución exponencial, distribución geométrica, distribución Gamma, distribución normal, distribución de Cauchy y todos los otros miembros de la familia de distribuciones estables.

Sin embargo, no lo son la distribución uniforme y la distribución binomial.[2] La distribución t de Student es infinítamente divisible, mientras que la distribución de la recíproca de una variable aleatoria con distribución t de Student, no lo es.[3]

Aplicaciones[editar]

Las distribuciones infinitamente divisibles aparecen en generalizaziones del teorema central del límite.

También están relacionadas con los procesos de Lévy.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions, Griffin , London. p. 107
  2. Sato, Ken-iti (1999). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press. p. 31. ISBN 978-0521553025. 
  3. Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd Edition. Wiley, ISBN 0-471-58494-0 (Chapter 28, page 368)

Bibliografía[editar]

  • Domínguez-Molina, J.A.; Rocha-Arteaga, A. (2007) "On the Infinite Divisibility of some Skewed Symmetric Distributions". Statistics and Probability Letters, 77 (6), 644–648 doi doi:10.1016/j.spl.2006.09.014
  • Steutel, F. W. (1979), "Infinite Divisibility in Theory and Practice" (with discussion), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
  • Steutel, F. W. and Van Harn, K. (2003), Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line (Marcel Dekker).