Distribución de probabilidad

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La distribución Normal suele conocerse como la "campana de Gauss".

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Función de distribución

Definición[editar]

Dada una variable aleatoria \scriptstyle X, su función de distribución, \scriptstyle F_X(x), es

F_X(x) = \mathrm{Prob}( X \le x ) = \mu_P\{\omega\in \Omega|X(\omega)\le x\}

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice \scriptstyle X y se escribe, simplemente, \scriptstyle F(x). Donde en la fórmula anterior:

\mathrm{Prob}\,, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.
\mu_P\, es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.
\Omega\, es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.
X:\Omega\to \R es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definida sobre el espacio muestral a los números reales.

Propiedades[editar]

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

Además, cumple

\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0

y

\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos ( X \le a ) y ( a < X \le b ) son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso ( X \le b ), por lo que tenemos entonces que:

P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )
P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )

y finalmente

P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta[editar]

Gráfica de distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x ) =  \sum_{k=-\infty}^x f(k)

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde  -\infty hasta el valor x.

Tipos de distribuciones de variable discreta[editar]

Definidas sobre un dominio finito

  • La distribución de Bernoulli, que toma valores "1", con probabilidad p, o "0", con probabilidad q = 1 − p.
  • La distribución de Rademacher, que toma valores "1" o "-1" con probabilidad 1/2 cada uno.
  • La distribución binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no" (ensayo de Bernoulli, todos ellos con probabilidad de acierto p y probabilidad de fallo q = 1 − p.
  • La distribución binomial de Poisson, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no", cada uno de ellos con probabilidad de éxito distinta y definida por una secuencia finita p1, p2... pn.
  • La distribución beta-binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no", cada uno de ellos con una probabilidad de acierto variable definida por una beta.
  • La distribución degenerada en x0, en la que X toma el valor x0 con probabilidad 1. A pesar de que no parece una variable aleatoria, la distribución satisface todos los requisitos para ser considerada como tal.
  • La distribución uniforme discreta, en el que todos los resultados posibles forman de un conjunto finito en el que todos son igualmente probables. Esta distribución describe el comportamiento aleatorio de una moneda, un dado o una ruleta de casino equilibrados (sin sesgo).
  • La distribución hipergeométrica, que mide la probabilidad de obtener x (0 ≤ x ≤ d) elementos de una determinada clase formada por d elementos pertenecientes a una población de N elementos, tomando una muestra de n elementos de la población sin reemplazo.
  • distribución hipergeométrica no central de Fisher.
  • distribución hipergeométrica no central de Wallenius.
  • La ley de Benford, que describe la frecuencia del primer dígito de un conjunto de números en notación decimal.

Definidas sobre un dominio infinito

Distribuciones de variable continua[editar]

Distribución normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt

Tipos de distribuciones de variable continua[editar]

Distribuciones definidas en un intervalo acotado

Definidas en un intervalo semi-infinito, usualmente [0,∞)

Distribuciones en las que el logaritmo de una variable aleatoria está distribuido conforme a una distribución estándar:

Definidas en la recta real completa

Definidas en un dominio variable

Distribuciones mixtas discreta/continua

Distribuciones multivariable

Distribuciones matriciales

Distribuciones no numéricas

Distribuciones misceláneas

Enlaces externos[editar]