Distribución logarítmica

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En teoría de la probabilidad, la distribución logarítmica es una distribución de probabilidad discreta derivada de la expansión en series de Maclaurin


 -\ln(1-p)  = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.

A partir de ella, se obtiene

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.

Por lo tanto, los valores

 f(k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}

pueden interpretarse como los pesos de una distribución de probabilidad, que es, precisamente, la logarítmica (de parámetro p).

La función de probabilidad acumulada es

 F(k) = 1 + \frac{\Beta(p; k+1,0)}{\ln(1-p)}

donde B es la función beta incompleta.

Relación con otras distribuciones[editar]

Una mezcla de variables aleatorias independientes con una distribución logarítmica de acuerdo con la distribución de Poisson sigue una distribución binomial negativa. Dicho de otro modo, si N es una variable aleatoria de Poisson y Xi, i = 1, 2, 3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias que siguen la distribución logarítmica de parámetro p, entonces la variable aleatoria

\sum_{n=1}^N X_i

sigue una ley binomial negativa.

Historia[editar]

R.A. Fisher describió esta distribución en un artículo en el que se describía la abundancia relativa de especies en un determinado hábitat.[1]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Fisher, R.A.. «The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population» (en inglés). Journal of Animal Ecology 12 (1):  pp. 42–58. http://www.math.mcgill.ca/~dstephens/556/Papers/Fisher1943.pdf. 

Bibliografía[editar]