Distribución χ²

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Distribución χ² (ji-cuadrado)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros k > 0\, grados de libertad
Dominio x \in [0; +\infty)\,
Función de densidad (pdf) \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,
Función de distribución (cdf) \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,
Media k\,
Mediana aproximadamente k-2/3\,
Moda k-2\, if k\geq 2\,
Varianza 2\,k\,
Coeficiente de simetría \sqrt{8/k}\,
Curtosis 12/k\,
Entropía \frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)
Función generadora de momentos (mgf) (1-2\,t)^{-k/2} for 2\,t<1\,
Función característica (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,


En estadística, la distribución χ² (de Pearson), donde χ² se pronuncia como ji-cuadrado,[1] es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria:

X = Z_1^2 + \cdots + Z_k^2

donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno. Esta distribución se expresa habitualmente como X\sim\chi^2_k

La distribución ji-cuadrado tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística, por ejemplo en la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. También está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student, y participa en todos los problemas de análisis de varianza, por su papel en la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias de distribución ji-cuadrado e independientes.

Contenido

[editar] Propiedades

[editar] Función de densidad

La función de densidad ji-cuadrado es:

f(x;k)= \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{para }x\ge0,\\ 0&\text{para }x<0 \end{cases}

Γ es la función gamma.

[editar] Función de distribución

La función de distribución es

F_k(x) = \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

donde \ \gamma(k,z) es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución chi-cuadrada son

\ E[X]=k

\ V[X]=2k

[editar] Relación con otras distribuciones

La ji cuadrado es una distribución binomial inversa cuyo coeficiente de variabilidad es 10.1, esta tiene un intervalo de confianza de 2.3 grados en la escala de desviaciones estandar. Posee una distribución de Poisson elevada, la cual asciende a 56.5 m Eq en los tres primeros cuartiles de la recta.

Para k = 2, la distribución ji-cuadrado es una distribución exponencial de media k = 2.

Cuando k es suficientemente grande se aproxima por la distribución normal:

\lim_{k \to \infty}\chi^2_k (x) = N_{(k,\sqrt{2k})} (x)

[editar] Referencias

  1. ↑ En inglés, la letra griega χ se denonima chi, pero en español su nombre es ji.

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_%CF%87%C2%B2"
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