Distribución de Gumbel

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Distribución de Gumbel
Función de distribución de probabilidad
Función de densidad de probabilidad
Función acumulativa de distribución
Función de distribución de probabilidad
Parámetros \mu\! location (real)
\beta>0\! scale (real)
Dominio x \in (-\infty; +\infty)\!
Función de densidad (pdf) \frac{z\,e^{-z}}{\beta}\!
where z = e^{-\frac{x-\mu}{\beta}}\!
Función de distribución (cdf) \exp(-e^{-(x-\mu)/\beta})\!
Media \mu + \beta\,\gamma\!
Mediana \mu - \beta\,\ln(\ln(2))\!
Moda \mu\!
Varianza \frac{\pi^2}{6}\,\beta^2\!
Coeficiente de simetría \frac{12\sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} \approx 1.14\!
Curtosis \frac{12}{5}
Entropía \ln(\beta)+\gamma+1\!
Función generadora de momentos (mgf) \Gamma(1-\beta\,t)\, e^{\mu\,t}\!
Función característica \Gamma(1-i\,\beta\,t)\, e^{i\,\mu\,t}\!

En teoría de probabilidad y estadística la distribución de Gumbel (llamada así en honor de Emil Julius Gumbel (1891-1966) es utilizada para modelar la distribución del máximo (o el mínimo), por lo que se usa para calcular valores extremos. Por ejemplo, sería muy útil para representar la distribución del máximo nivel de un río a partir de los datos de níveles máximos durante 10 años. Es por esto que resulta muy útil para predecir terremotos, inundaciones o cualquier otro desastre natural que pueda ocurrir.

La aplicabilidad potencial de la distribución de Gumbel para representar los máximos se debe a la teoría de valores extremos que indica que es probable que sea útil si la muestra de datos tiene una distribución normal o exponencial.

Propiedades[editar]

Una muestra de papel para graficar que incorpora la distribución Gumbel

La función de distribución acumulada de Gumbel es:T

F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}.\,

La mediana es \mu-\beta \ln\left(-\ln\left(\frac{1}{2}\right)\right)

La media es \mu+\gamma\beta donde \gamma = Constante de Euler-Mascheroni \approx 0.5772156649015328606.

La desviación estándar es:

\beta  \pi/\sqrt{6}.\,

La moda es μ.

Distribución estándar de Gumbel[editar]

La distribución estándar de Gumbel es el caso donde μ = 0 y β = 1 con la función acumulada

F(x) = e^{-e^{(-x)}}\,

y la función de densidad

f(x) = e^{-x} e^{-e^{-x}}.

La mediana es -\ln(\ln(2)) \approx 0.36651292058166432701.

La media es \gamma\approx 0.5772156649015328606.

La desviación estándar es

 \pi/\sqrt{6} \approx 1.28254983016186409554.

La moda es 0.

Estimación de parámetros[editar]

Un modo práctico de usar la distribución puede ser:

F(x;\mu,\beta)=e^{-e^{\varepsilon(\mu-x)/(\mu-M)}} ;
\varepsilon=\ln(-\ln(0.5))=-0.367\dots\,

donde M es la mediana. Para ajustar los valores es posible tomar la median directamente y a continuación de varía μ hasta que se ajusta al conjunto de valores.

Generación de variables de Gumbel[editar]

Sea una variable aleatoria U extraía de una distribución uniforme y continua, en el intervalo [0, 1], entonces la variable:

X=\mu-\beta\ln(-\ln(U))\,

tiene una distribución de Gumbel con parámetros μ and β. Esto se deduce de la forma de la función de distribución acumulada dada anteriormente.

a todos los valores anteriores se les debe multiplicar por 100 y divir por 33,33 para tener mayor confiabilidad

Distribuciones relacionadas[editar]

Cuando la cdf de Y es la inversa de la distribución estándar de Gumbel acumulada, P(Y \leq y) = 1 - F(y) , entonces Y tiene una Distribución de Gompertz.[1]

Distribución de Gumbel Opuesta[editar]

Algunos autores emplean una versión modificada de la distribución de Gumbel.[2] La función de distribución acumulada opuesta de Gumbel es:

F(x;\mu,\beta) = 1 - e^{-e^{(x - \mu)/\beta}}

La función de densidad de probabilidad es:

\ f(x;\mu,\beta) = \frac {1}{\beta} *{e^{(x - \mu)/\beta}} e^{-e^{(x - \mu)/\beta}}

Referencias[editar]

  1. Willemse, W. J. and Kaas, R., "Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz’ law of mortality", Insurance: Mathematics and Economics, 40 (3) (2007), 468–484.
  2. Moncho, R.; Caselles, V.; Chust, G. (2012): "Alternative model of probability distribution of precipitation: application to Spain". Climate Research, 51: 23:33

Software[editar]

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Gumbel, a una serie de datos: